Sin embargo, sus funciones son diferentes.

Question

Sé que los polinomios irreducibles sobre los campos de cero característica tienen distintas raíces en su división de campo.

Teorema 7.3 página 27 parece demostrar que los polinomios irreducibles sobre $\Bbb F_p$ tienen distintas raíces en su división de campo (y de todas las raíces son potencias de una raíz). Es la prueba de la correcta? Nunca he visto este resultado en cualquier otro lugar. La prueba es muy convincente para mí.

¿El resultado de retener para $\Bbb F_q$ donde q es una potencia de primer? Creo que no tiene porque he escuchado que hay irreductible polinomios con raíces repetidas?

Por favor, ayudar.

Answer 1

Considere la posibilidad de un campo de característica $p$. Un polinomio tiene múltiples raíces sólo si se tiene una raíz en común con su (formal) derivado, que es el de múltiples raíces de $f$ son las raíces de $\gcd(f,f')$. Desde $f$ es irreductible, múltiples raíces sólo puede producirse si el $\gcd$$f$, $f'$ es un múltiplo de a $f$. Y esto sólo es posible si $f'=0$, que es todo monomials en $f$ tienen un grado un múltiplo de $p$, lo $f(x)=g(x^p)$ para algunos polinomio $g$.

Si $F$ es finito, entonces $\phi\colon a\mapsto a^p$ es un automorphism de $F$ (y también de la división de campo de $E$ de nuestro polinomio) y existe $h(x)$ tal que $\phi(h)=g$. A continuación, para $\alpha\in E$ $f(\alpha)=0$ $h(\alpha)=0$ (debido a $\phi(h(\alpha))=\phi(h)(\phi(\alpha))=g(\alpha^p)=f(\alpha)=0$). Desde $h$ es de menor grado que $f$, $f$ no es irreducible.

Como esta prueba de muestra, uno tiene que mirar para los casos en que $\phi$ no es un automorphism para encontrar un contraejemplo (como en Andreas Carantis comentario).

Answer 2

El resultado mantiene a través de cualquier campo finito. Una manera de ver esto es que si $h(x) \in \Bbb{F}_{q}[x]$ (donde $q$ es una potencia de la prime $p$) es irreducible sobre $\Bbb{F}_{q}$, e $\alpha$ es uno de sus raíces, a continuación, $\alpha$ también es algebraico sobre $\Bbb{F}_{p}$. Si $f(x) \in \Bbb{F}_{p}[x]$ es el polinomio mínimo de a$\alpha$$\Bbb{F}_{p}$, $h(x)$ divide $f(x)$, y usted sabe que el último tiene distintas raíces.

Hay ejemplos, aunque, de polinomios irreducibles de grado $> 1$ a través de un infinito campo de característica positiva que tiene sólo una raíz.