Estoy buscando una buena descripción de todas adecuada subgrupos de $G=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ que contengan $K=p\mathbb{Z}\oplus p\mathbb{Z}$ correctamente ($p$ prime).
Sé cómo conseguir todos los subgrupos. Miro el cociente $G/K$. Es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ de la dimensión de $2$. Me tome un vector distinto de cero en $\mathbb{F}_p^2$, tire de él para $G=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ y ver lo que abarca, junto con $K=p\mathbb{Z}\oplus p\mathbb{Z}$.
En otras palabras, puedo elegir enteros $a,b$ en el rango $0,\dotsc,p-1$, no ambos cero, y ver qué grupo abelian $(a,b)$ genera junto con $(p,0)$$(0,p)$.
(Sé que diferentes opciones y $a,b$ puede dar el mismo subgrupo. Eso está bien).
La parte que no me gusta de esta descripción es la parte "a ver qué subgrupo $(a,b)$ genera junto con $(0,p)$$(p,0)$". Esta parte implica la "eliminación de Gauss" a través de los números enteros, y eso no está tan claro cuál es la base para el resultado de los subgrupos.
He aquí una forma concisa de mi pregunta:
Deje $p$ ser primer. Deje $a,b$ ser números enteros en el rango de $0,\dotsc,p-1$, no ambos cero. Deje $H$ ser el subgrupo de $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ generado por $\{(a,b),(p,0),(0,p)\}$. Hay una "buena" base para $H$?
