Me pregunto si podemos decir $x\in \{\{\{x\}\}\}$?
En un punto de vista es el único elemento de $\{\{\{x\}\}\}$$\{\{x\}\}$. En el otro punto de vista $x$$\{\{\{x\}\}\}$, por ejemplo todas las personas que en Madrid están en España.
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user87023
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Si $x\in\{\{\{x\}\}\}$,$x=\{\{x\}\}$, y tenemos un ciclo de $x\in\{x\}\in x$. En Zermelo-Fraenkel de la teoría de los conjuntos, este comportamiento está prohibido por la fundación axioma. Así que no existe ningún conjunto de $x$ tal que $x\in\{\{\{x\}\}\}$, no importa lo complicado que $x$ puede ser!
(Uno puede estudiar menos popular conjunto de teorías sin fundamento axioma, pero no sé nada acerca de ellos.)
En tu ejemplo, puede utilizar el subconjunto relación con el modelo de la relación entre Madrid y de España, en lugar de la relación de pertenencia. El conjunto de personas que en Madrid es un subconjunto del conjunto de la población en España. Si se identifica un lugar con el conjunto de personas que en ese lugar, entonces podemos simplemente decir que el Madrid es un subconjunto de España. En ese caso, nosotros no decir que el Madrid es también un elemento de España, porque el Madrid no es una persona.
5xum
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DanV
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Como muchos aquí explicado, esto sin duda no tiene que ser cierto, y asumiendo el axioma de regularidad, esto puede ser refutada con bastante facilidad.
Me comenta que es coherente que el axioma de regularidad falla, y que esta situación no ocurra. Por supuesto, esto significaría que el $x=\{\{x\}\}$, pero es un escenario plausible (que, por ejemplo, de la siguiente manera a partir de ciertas "anti-fundación" axiomas).
Pero tal vez hay algo que falta en las respuestas aquí es la mención de un cierre transitivo. Dado un conjunto $X$ definimos el cierre transitivo de $X$ como el conjunto de todos los elementos que pueden ser "engañado" por tomar elementos de los elementos y así sucesivamente. El cierre transitivo de $X=\{\{\varnothing\}\}$ sería tomar $X\cup\{\varnothing\}\cup\varnothing=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, por ejemplo.
Así, mientras que $x$ no necesitas ser un elemento de $\{\{\{x\}\}\}$, es un elemento de la clausura transitiva de $\{\{\{x\}\}\}$.
Hagen von Eitzen
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171160
Si bien existen algunas variantes de la teoría de conjuntos que permiten, por ejemplo, que un conjunto es un elemento de sí mismo ("Quine átomos") o tal nivel más profundo weirdnesses como en tu pregunta, la costumbre axiomatization de la teoría de conjuntos (Zermelo-Frenkel, con o sin el Axioma de Elección) contiene el Axioma de Fundación (o Regularidad)
Axioma. Para cada conjunto no vacío $a$ existe $b\in a$$b\cap a=\emptyset$.
En tu ejemplo, $a=\{\{\{x\}\}\}$, la única posibilidad para $b$$b=\{\{x\}\}$, y, a continuación,$a\cap b=\emptyset$, que simplemente nos da que el único elemento de $a$ no $a$, es decir, $\{x\}\notin \{\{\{x\}\}\}$. En principio, esto permitiría que $x\in a$ - después de todo, $x\ne\{x\}$.
Sin embargo, podemos usar un mejor $a$. La única manera para $x\in\{\{\{x\}\}\}$ es que el $x=\{\{x\}\}$ mantiene. Asumir que este es el caso. Ahora vamos a $$a=\{\,x,\{x\}\,\} = \{\,\{\{x\}\},\{x\}\,\}.$$ Por el Axioma de Fundación existe $b\in a$$b\cap a=\emptyset$. A continuación, cualquiera de $b=\{x\}$ o $b=x=\{\{x\}\}$. Pero en el primer caso $x\in b\cap a$ y en el segundo caso $\{x\}\in b\cap a$, contradicción. Por lo tanto la suposición de que $x=\{\{x\}\}$ (o, equivalentemente,$x\in\{\{\{x\}\}\}$) podría sostener por algunos $x$ debe ser malo.
leepfrog
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hay un montón de buenas respuestas, pero quiero añadir:
En el conjunto de $A=\{Chris,Culter,5,Adam,\{\{x\}\},525\}$, los elementos son, por definición, todas las cosas entre $\{$$\}$. por lo que son exactamente:
Chris , Culter, 5, Adam, {{x}} , 525
así que en $B=$$\{${{x}}$\}$ el único elemento entre el $\{$ $\}$ es...?
