Es comprobable que todos isomorfo estructuras comparten las mismas propiedades?

Question

Este es mi primer semestre como estudiante de matemáticas y entre mis clases, me estoy tomando cálculo. El libro del curso está basada en el Cálculo de Michael Spivak. Este libro es increíble y ya que se comienza con las propiedades de los números reales también estoy leyendo el final del libro, donde dice que una estructura es única hasta el isomorfismo. En ese momento esto es lo que dice el libro:

... significativa alguna propiedad matemática de los números reales va a ser verdad para todos los isomorfo campos. Para ser sincero debo admitir que esta última afirmación es sólo un prejuicio del autor, sino que es compartida por casi todos los otros matemáticos.

Mi profesor me dijo que esta afirmación tiene que ver con la lógica, y que no debería preocuparse demasiado acerca de él. El problema es que no quiero parar allí y quieres aprender más. Así que, mi pregunta es que si que Spivak la afirmación es comprobable o por qué él está diciendo que es sólo un prejuicio. Si es demostrable que me gustaría saber, ¿qué herramientas necesito para poder entenderlo y también sería genial si alguien me puede dar la idea general detrás de él y algunas referencias.

Answer 1

Bienvenido a las matemáticas!

Isomorfismo es un concepto relativo: a medida que avanzas en tus estudios podrás ver que las cosas se dice que son isomorfos como "esto" o "aquello". Cada vez que la palabra "isomorfismo" viene, va a ser isomorfismo de un determinado tipo de objetos. La palabra misma significa que la estructura de los dos objetos es uno y el mismo. Por ejemplo, dos espacios vectoriales son isomorfos (como espacios vectoriales) cuando hay un bijective lineal mapa entre ellos. En ese caso, cada propiedad que puede ser descrito por el vector de estructura de espacio que se puede llevar de cada una de ellas a la otra. El mapa en sí se llama un "espacio vectorial isomorfismo".

Sobre los números reales, toda la estructura se deriva de su estructura como de un pedido de campo: su "forma", su "estructura algebraica". Por lo tanto, lo que Spivak medios, o más bien, mi interpretación de lo que escribe, es que si algo es isomorfo a los números reales como un ordenado campo, los dos comparten el mismo ordenó-de campo-de propiedades, que a su vez significa que usted puede "copiar y pegar" la totalidad de la estructura de los números reales en que el objeto mismo.

Espero que mi respuesta a arrojar algo de luz!