Forma cerrada para $\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(\pi \log n)}{n^2}$

Question

¿Existe una forma cerrada para la siguiente suma? $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(\pi\log n)}{n^2}$$

Answer 1

Por supuesto que sí. La forma más rápida de obtenerla es escribir heurísticamente $\cos(\pi\ln n)$ como $\frac12(n^{i\pi}+n^{-i\pi})$ . La respuesta viene dada entonces por $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(\pi\ln n\right)}{n^2}=\frac{\zeta(2+i\pi)+\zeta(2-i\pi)}{2}.$$