La comprensión de $Gal(\bar k /k)$

Question

Según este libro, Una Introducción al Programa de Langlands,

Uno de los objetivos fundamentales de la moderna teoría de números es entender que el grupo de Galois $Gal(\bar k /k)$ donde $k$ es un local o un campo global.

¿Qué se entiende por comprensión de este grupo?

Answer 1

Una interpretación posible es que nos gustaría ser capaz de escribir un explícito nombre para el grupo; es decir, nos gustaría identificar a qué grupo es en realidad y lo que las propiedades de ese grupo son: ¿qué hace su centro de parecer, ¿cuáles son las representaciones irreducibles, etc.

Con frecuencia, lo que quiere decir es que nos gustaría entender la teoría de la representación del grupo. Si podemos calcular los caracteres de las representaciones irreducibles, por ejemplo, podemos tener la esperanza de descubrir información acerca de las funciones relacionadas, tales como $L$-funciones theta funciones, modular funciones, y más.

Answer 2

La respuesta de @BenS. es el mejor, pero otra manera de responder a esta pregunta sería decir que podemos entender todo el grupo de Galois cuando podemos describir todos finito de coeficientes (normal cerrado subgrupos). Para $\Bbb Q$, esto significaría que describe los grupos de Galois de todas las extensiones de $\Bbb Q$. Como estoy seguro que usted sabe, nosotros aún no somos capaces de hacer esto.

Answer 3

Hay una gran Mathoverflow discusión con el mismo título y 10 respuestas, algunas de ellas son bastante informativos dependiendo del lector de fondo. Comienza como esta pregunta,

He escuchado a gente decir que un objetivo importante de la teoría de números es entender la absoluta Galois grupo de los números racionales $G=$Gal$(\overline{\mathbb{Q}}/ℚ)$. ¿Qué hace la gente quiere decir cuando se dice esto?

http://mathoverflow.net/questions/2791/