Últimamente me encontré con un problema.
¿Qué propiedades de las matrices se conservan después de un cambio de base? (se prefieren base ortogonal y matriz cuadrada en primer lugar)
¿Quizás sería razonable hacer una lista tan comprensiva? Wikipedia ni siquiera proporciona una lista corta en Cambio de base, aunque da algunas respuestas en Similaridad de matriz. Si alguien conoce sin embargo acerca de tal lista por favor dé un indicio hacia ella. Necesito la lista, no una bibliografía.
Además me gustaría dividir las propiedades en generales y específicas, donde las propiedades generales son como
simetría, sesgo-simetría, etc. (pueden o no estar asociadas a una matriz dada - decisión binaria) y propiedades específicas son como rango, determinante, traza, etc. (siempre se pueden caracterizar por un solo número o un conjunto de ellos).
Así que comenzaré. También es importante listar lo que no se conserva.
¿Qué se conserva?
Propiedades generales: (si sucede)
Simetría. Sí.
Sesgo-Simetría. Sí
Ortogonalidad. Sí
Diagonalidad (entradas no nulas solo en la diagonal) No
Positividad (todas las entradas son positivas) No.
Propiedades específicas:
Trama. Sí.
Rango. Sí.
Determinante. Sí.
¿Qué más se puede agregar?
....
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Característica y polinomio minimal.
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Ok. Los recopilo todos en la tabla. Si lo deseas, puedes hacer lo mismo por tu cuenta.
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¿Por "cambio de base" te refieres a $P^{-1}AP$ o $P^TAP$?
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Prefiero más bien el segundo en esta cuestión (ortogonal); sin embargo, si alguien es capaz de hacer tal discernimiento y listar propiedades no cambiadas en ambos casos, entonces tal clasificación también sería útil.
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Podemos por ejemplo usar abreviaturas para este caso: OCB - cambio de base ortogonal, GCB - cambio de base general.
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@Rahul Siempre he visto "cambio de base" para referirse a la conjugación, principalmente porque las matrices se utilizan más a menudo para representar aplicaciones lineales. Si quieres que representen formas bilineales, deberías usar el segundo tipo de transformación, aunque hay que insistir en que $P$ sea invertible aquí (de lo contrario, simplemente se puede hacer que cualquier matriz cuadrada sea cero). Si la matriz representa una forma hermítica, entonces se usaría $P^*AP$ en su lugar.