Probabilidades condicionales, urnas

Question

He encontrado esta pregunta muy interesante, y al parecer tiene que ver con las probabilidades condicionales:

Una urna contiene seis bolas negras y blancas. Dos bolas se dibujan simutaneously. Tienen el mismo color con una probabilidad de 0.5. Cuántas bolas hay en
la urna?

Como que a mí respecta, yo diría que es de dos bolas blancas...

Answer 1

probabilidad de 2 bolas negras: $\frac{6}{8}*\frac{5}{7}=\frac{30}{56}$

de 2 bolas blancas: $\frac{2}{8}*\frac{1}{7}=\frac{2}{56}$

$\frac{30}{56}+\frac{2}{56}=\frac{32}{56}\neq\frac{1}{2}$

Suponga que el número de bolas blancas es $n$:

2 bolas negras = $\frac{6}{6+n}*\frac{5}{5+n}=\frac{30}{n^2+11n+30}$

2 bolas blancas = $\frac{n}{6+n}*\frac{n-1}{5+n}=\frac{n^2-n}{n^2+11n+30}$

total probabilidad $=\frac{1}{2}$ (como por problema de configuración) y, también, $=\frac{30}{n^2+11n+30}+\frac{n^2-n}{n^2+11n+30}=\frac{n^2-n+30}{n^2+11n+30}$

Movimiento lados, $2(n^2-n+30)=n^2+11n+30$

$2n^2-2n+60=n^2+11n+30$

$n^2-13n+30=0$

$(n-10)(n-3)=0$

$n=\{10,3\}$

Por lo tanto, este problema se resuelve cuando hay 3 o 10 bolas blancas.

Answer 2

Vamos a no ser $6$ negro y $w$ bolas blancas. La probabilidad de $P$ que nos dibuje un par de igualmente bolas de colores está dada por $$P={{6\choose 2}+{w\choose2}\over{6+w\choose2}}={6\cdot 5+w(w-1)\over(6+w)(5+w)}\ .$$ La condición de $P={1\over2}$ conduce a la ecuación cuadrática $w^2-13w+30=0$ con las dos soluciones de la $w=3$$w=10$.

Answer 3

Largo sugerencia/tutorial: Dejar que el número de bolas blancas denotarse $w$. La probabilidad de sacar dos bolas blancas se $\frac{w}{6+w}\cdot\frac{w-1}{6+w-1}$ ya que la probabilidad de elegir una bola blanca se $P(w_1)=\frac{w}{w+6}$ y ya hay uno menos que la bola blanca la probabilidad de elegir otro se $P(w_2)=\frac{w-1}{6+w-1}$. Para encontrar la probabilidad de que ambos eventos se producen multiplicamos la probabilidad $P(w_1\cap w_2)=P(w_1)\cdot P(w_2)$. Tenga en cuenta que esto es sólo la probabilidad de encontrar dos bolas blancas. ¿Cuál será la probabilidad de encontrar dos bolas negras? Para encontrar la probabilidad de que uno U otro caso se produce añadimos la probabilidad de cada evento ($P(x\cup y)=P(x)+P(y)$). Entonces, ¿cuál es la probabilidad de elegir dos de el mismo color de las pelotas?

Podemos encontrar una forma matemática de expresar la probabilidad de elegir una bola de cada color? Si es así, podemos establecer estas ecuaciones iguales y tienen $P(w_1\cap w_2)+P(b_1\cap b_2)=P(b_1\cap w_2)+P(w_1\cap b_2)$. Ya que nuestra única variable debería ser $w$ esto nos va a permitir resolver.