Estoy resolviendo un ejercicio de Rogers y Williams y quiero preguntar si mi solución es correcta. Primero, permítanme introducir la notación. El espacio de $b\mathcal{E}$ es el espacio de procesos de la forma $$H(t,\omega)=\sum_{i=1}^nZ_i(\omega)(S_i(\omega),T_i(\omega)]$$ donde $(S_i(\omega),T_i(\omega)]$ es la función característica del conjunto $\{t:S_i(\omega)<t\le T_i(\omega)\}$. Asumimos $S_1\le T_1\le S_2\le \dots$ son los tiempos de parada y $Z_i\in b\mathcal{F}_{S_i}$ (bounded r.v. medibles w.r.t $\mathcal{F}_{S_i}$. La predicción de sigma álgebra $\mathcal{P}$ $(0,\infty)\times\Omega$ es generado por todos los LCRL procesos adaptados. Sé que $\sigma(b\mathcal{E})=\mathcal{P}$. Quiero demostrar que los conjuntos de la forma $$(u_\Gamma,\infty)=\{(t,\omega):t>u,\omega\in\Gamma\}$$ con $u\ge 0$ $\Gamma\in \mathcal{F}_u$ también generar la predicción sigma álgebra. Vamos a denotar con $\mathcal{C}$ el conjunto de todos estos conjuntos. Lo que yo hice:
Una función característica de un conjunto de arriba es de la forma $\mathbf1_{(u,\infty)}\mathbf1_{\Gamma}$, lo cual es claramente LCRL y adaptado. Por lo tanto,$\sigma(\mathcal{C})\subset \mathcal{P}$. Para revertir la desigualdad no estoy seguro. Una sugerencia dice que $\mathcal{P}$ también se genera a partir de procesos de la forma $Z(s,\infty)$ donde $Z$ $\mathcal{F}_s$ medibles. ¿Por qué es esto cierto? Claramente el generado sigma álgebra de este proceso está contenida en $\mathcal{P}$. Pero, ¿por qué es la inversa de la desigualdad verdad?
Asumiendo esta sugerencia, me gustaría probar el original de la declaración como ésta: Primero vamos a $Z=\mathbf1_\Gamma$ donde $\Gamma\in\mathcal{F}_s$. A continuación, $Z(s,\infty)$ $\sigma(\mathcal{C})$ medibles. Por medida de teoría de la inducción, podemos encontrar una secuencia de combinaciones lineales de funciones de la forma $\mathbf1_\Gamma(s,\infty)$ que converge a todos los $H=Z(s,\infty)$$Z\in b\mathcal{F}_s$. Esto demuestra la inversa de la desigualdad, suponiendo que la reclamación.
Es mi prueba correcta? Y si es así, ¿por qué es la sugerencia de verdad? Por otra parte, afirman como Corolario del ejercicio: $\mathcal{P}=\{(T,\infty):T \mbox{ stopping time }\}$. Supongo que esto significa que el lado derecho es también un grupo electrógeno $\mathcal{P}$. Pero de nuevo, ¿es esto cierto? Gracias por tu ayuda.
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