Estoy estudiando el producto topológico con el libro de Schubert. Comienza definiendo la topología del producto de la siguiente manera:
DEFINICIÓN. Sea $\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ sea una familia (no vacía) de espacios topológicos. La topología más gruesa del conjunto $X=\underset{\lambda\in\Lambda}{\prod}X_{\lambda}$ para el que todas las proyecciones $p_{\lambda}:X\rightarrow X_{\lambda}$ son continuos, se denomina topología del producto en X. Si $X$ se considera que tiene esta topología, entonces $X$ se llama el producto topológico de los espacios $X_\lambda$ .
A continuación, establece el siguiente teorema:
TEOREMA: Conjuntos de la forma $\prod Q_{\lambda}$ , donde $Q_{\lambda}$ está abierto en $X_{\lambda}$ y $Q_{\lambda}=X_{\lambda}$ con un número finito de excepciones, forman una base para la topología del producto.
Que la definición habitual de la topología del producto.
He intentado demostrar este teorema a partir de la definición dada. Todavía estoy muy dubitativo en este tema (topología), y esta demostración me ha parecido especialmente complicada, así que me gustaría que la comprobaras.
Mi intento: Sé que la topología más gruesa en $X$ que contiene todos los conjuntos de una determinada familia $A$ de subconjuntos de $X$ es la topología generada por $A$ ( $A$ siendo así una subbase para esta topología).
Por lo tanto, si dejamos que $A$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que contiene todos los conjuntos de la forma $p_{\lambda}^{-1}(Q_{\lambda})$ (con $Q_\lambda$ un conjunto abierto de $X_\lambda$ ), $A$ es una subbase de la topología del producto (porque todas las proyecciones $p_{\lambda}:X\rightarrow X_{\lambda}$ son continuos precisamente cuando los conjuntos de la forma $p_{\lambda}^{-1}(Q_{\lambda})$ (con $Q_\lambda$ un conjunto abierto de $X_\lambda$ ) están abiertas en $X$ ).
También sé que, si $Q_{\mu}$ es un conjunto de $X=\underset{\lambda\in\Lambda}\prod X_{\lambda}$ entonces $p_{\mu}^{-1}(Q_{\mu})=X_{1}\times X_{2}\times...\times Q_{\mu}\times...$
Ahora, el conjunto de todos los finito intersecciones de los elementos de $A$ es una base de $X$ . Las intersecciones finitas de los $p_{\mu}^{-1}(Q_{\mu})=X_{1}\times X_{2}\times...\times Q_{\mu}\times...$ son precisamente de la forma descrita en el teorema.
