Grupo Fundamental de GL(n,C) es isomorfo a Z. ¿Cómo aprender a probar los hechos como este?

Question

Yo sé, grupo fundamental de la $GL(n,\mathbb{C})$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$. Está escrito en la Wikipedia. En realidad, he de tener éxito en la demostración de esto, pero mi prueba es de dos páginas de largo y muy técnico. Quiero

1. para encontrar algunos de los mejores pruebas de este hecho (con el fin de comparar a la mía);
2. para encontrar algún libro o artículo, con el que puedo aprender, cómo calcular fundamentales de los grupos y, más en general, la conectividad de los componentes de los mapas de un espacio a otro;
3. para encontrar algo para la referencia, que puedo usar para aprender, cómo escribir esta pruebas bien, el uso de la terminología estándar.

Answer 1

El método de Mariano explica en su respuesta es absolutamente la manera en que los matemáticos calcular fundamentales de los grupos (y también superior homotopy grupos) de la Mentira de los grupos. Aquí sólo quiero mencionar cómo su primer paso se aplica en un contexto más general.

1) Relativo a $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$: el grupo unitario $U(n)$ es la máxima compacto subgrupo de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$, y además, cualquier máxima compacto subgrupo es el conjugado de a $U(n)$. (Esto puede ser visto por considerar Hermitian formas, c.f. por ejemplo, la Sección 1 de http://math.uga.edu/~pete/8410Chapter9.pdf.) Por otra parte, las bacterias Gram-Schmidt proceso da una deformación de retracción de$\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$$U(n)$, por lo tanto, estos dos espacios son homotopy equivalente. Y, de hecho, incluso más que es cierto: existe un número finito-dimensional espacio Euclidiano $E$ tal que $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ es homeomórficos a $U(n) \times E$: esta es la descomposición QR. Además:

2) Todo en 1) va más literal de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ con el grupo unitario $U(n)$ sustituye por el grupo ortogonal $O(n)$.

3) Para cualquier reductora grupo $G$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, existe una máxima compacto subgrupo $K$, cualquiera de las dos son conjugado en $G$, e $G$ es homeomórficos para el producto de $K$ con un finito-dimensional en el espacio Euclidiano. Este último hecho es una consecuencia de la Iwasawa de descomposición, de un alcance de la generalización de los QR-descomposición.

Answer 2

La primera cosa que tienes que hacer es tener en cuenta que la inclusión $U(n)\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ induce un isomorfismo en los principios fundamentales de los grupos. Esto se puede hacer notar que un bucle en $\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ puede ser deformado a uno en $U(n)$ mediante la realización de las bacterias Gram-Schmidt procedimiento en cada punto de la vuelta, y la comprobación de que esto se puede realizar de forma continua y así sucesivamente.

Siguiente, teniendo en cuenta el principio de la larga secuencia exacta para el homotopy grupos de los espacios que aparecen en la fibration $$U(n-1)\to U(n)\to S^{2n-1}$$ which arises from the transitive linear action of $U(n)$ on $S^{2n-1}\subseteq\mathbb C^{n}$ you can prove, by induction, that the inclusion $U(1)\a U(n)$ induce un isomorfismo de grupos fundamentales. A continuación, puede describir explícitamente $U(1)$ como un espacio homeomórficos a $S^1$.