Accidentalmente se fundó este particular integral de la producción de un número racional
No puedo estar seguro de que es correcta, por lo que puede proporcionar una prueba de ello.
$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over [\pi(x+e^{\pi})^2+\pi^{1/3}]^2}dx={1\over 2}\etiqueta 1$$
He encontrado relacionados con la $(1)$ es este
Vamos a aplicar una sustitución de $u=x+e^{\pi}$ $du=dx$
$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over [\pi{u}^2+\pi^{1/3}]^2}du={1\over 2}\tag2$$
Para evitar confundir con demasiada $\pi$ símbolo, escribimos un general
$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over [A{u}^2+B]^2}du={1\over 2}\tag3$$
Podríamos aplicar descomposición parcial
$${au+b\over Au^2+B}+{cu+d\over (Au^2+B)^2}=1\tag4$ $ , a continuación, encontrar a,b,c y d.
He encontrado un general integral de
$$\int{dx\over(x^2+a^2)^2}={x\over2a^2(x^2+a^2)}+{1\over 2a^3}\tan^{-1}{\left(x\over a\right)}\tag5$$ Estoy seguro de que esto es suficiente para probar $(1)$
Pregunta: ¿cuáles son los otros métodos podemos utilizar para demostrar $(1)?$