Numéricamente, sería la siguiente identidad es cierto:
$$\frac{6}{7}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum_{k=3}^\infty{\left(k-\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{j}\right)^{-n}}}$$
Abajo he comprobado que el lado derecho de la ecuación existe entre 0 y 1.
Deje $H_k$ $k$ésimo número armónico. Considerar la secuencia de $x_k=k-H_k$. Es fácil mostrar que $x_k$ es cada vez mayor. Por lo tanto, $x_k>1$ todos los $k \geq 3$ desde $x_3 = \frac{7}{6} > 1$. De ello se desprende que $x_k^{-n}$ disminuye en la medida en $n$ aumenta si $k \geq 3$. Ahora considere la siguiente secuencia:
$$ y_n = \sum_{k=3}^{\infty}{\frac{1}{x_k^n}}$$
Debido a que los términos de la serie de $y_n$ disminución $n$ aumenta, es suficiente para demostrar que $y_2$ converge para demostrar que todas las $y_n$ convergen si $n>1$. $\zeta(2)$ es un conocido convergente la serie:
$$ \frac{x_k^2}{k^2}=\frac{k^2-2kH_k+H_k^2}{k^2}=\frac{1-2\frac{H_k}{k}+\left(\frac{H_k}{k}\right)^2}{1}\to1$$
Por el límite de la prueba de comparación, $y_2$ converge. Por lo tanto, todos los $y_n$ $n>1$ convergen y se $\{y_n\}_{n=2}^\infty$ es una secuencia definida. Una secuencia final será definido:
$$z_n = \sqrt[n]{y_n}$$
$\sqrt[n]{a}\to 1$ $n\to\infty$ por una constante real positiva $a$. A partir de los hechos que $y_n$ es decreciente y $\sqrt[n]{y_2} \geq \sqrt[n]{y_n} \geq 0$ podemos deducir que $\lim_{n\to\infty} z_n$ existe y está en $[0, 1]$.
Preguntas: ¿mi identidad Es correcta? ¿Cómo puede ser esto muestra? Es la anterior prueba correcta?
Bonus: a Partir del resultado anterior y la de Cauchy raíz de la prueba se puede deducir la siguiente serie converge. Puede averiguar más acerca de su valor?
$$ \sum_{n=2}^\infty{y_n}$$
