Encontrar generadores de un ideal / demostrar que un ideal es primo

Question

Supongamos que tengo un ideal como $\mathrm{rad}(\langle y - x^2, z - x^3 \rangle)$ . ¿Cómo puedo encontrar generadores para el ideal?

Si pudiera demostrar que $\langle y - x^2, z - x^3 \rangle$ es un ideal primo, entonces obviamente $y-x^2$ y $z-x^3$ generaría $\mathrm{rad}(\langle y - x^2, z - x^3 \rangle)$ pero no veo cómo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Podría empezar mostrando el ideal $I=(y-x^2,z-x^3)$ es, de hecho, radical, por lo que encontrar generadores para su radical resulta fácil.

Así que dejemos $f\in k[x,y,z]$ sea tal que exista un $n\geq0$ tal que $f^n\in I$ . Es fácil ver que existen $g$ , $h\in k[x,y,z]$ y $r\in k[x]$ tal que $$(\clubsuit)\qquad\qquad f(x,y,z)=g(x,y,z)\cdot(y-x^2)+h(x,y,z)\cdot(z-x^3)+r(x),$$

y utilizando la fórmula de Newton para las potencias de los trinomios- vemos inmediatamente que $$f(x,t,z)^n\equiv r(x)^n\mod I,$$ para que de hecho $r(x)^n\in I$ . Supongamos por un segundo que conseguimos demostrar que

$(\star)\qquad\qquad$ tenemos $k[x]\cap I=0.$

Entonces, como $r(x)^n$ está en esa intersección, tenemos $r(x)^n=0$ y por lo tanto $r(x)=0$ . Mirando hacia atrás $(\clubsuit)$ vemos ahora que $f\in I$ y estamos contentos.

¿Puede probar $(\star)$ ?

Answer 2

El truco consiste en sustituir $y$ por $x^2$ y $z$ por $x^3$ en el anillo de cociente $k[x,y,z]/\langle y-x^2, z-x^3\rangle$ para que el cociente se convierta en $k[x,y,z]/\langle y-x^2, z-x^3\rangle =k[x,x^2,x^3]=k[x]$ .
Por lo tanto, como el cociente es un dominio, su deseo se ha hecho realidad: el ideal $\langle y-x^2, z-x^3\rangle$ es primo.

Una generalización
Si se tiene un cociente de un anillo de polinomios $k[x_0,x_1,..., x_n]$ de la forma especial $$A=k[x_0,x_1,\dots, x_n]/\langle x_0-g(x_1,\dots,x_n),f_1(x_0,\dots, x_n),\dots,f_i(x_0,\dots, x_n),\dots\rangle$$ puedes aplicar el mismo truco de reemplazar cada ocurrencia de $x_0$ por $g(x_1,\dots,x_n)$ obteniendo así $$A=k[x_1,\dots, x_n]/\langle f_1(g(x_1,\dots,x_n),\dots, x_n),\dots,f_i(g(x_1,\dots,x_n),\dots, x_n),\dots\rangle.$$ En el ejemplo que has presentado lo he utilizado implícitamente dos veces (pero sólo he escrito el resultado final), aprovechando la regla de los cocientes sucesivos $$k[x,y,z]/\langle f,g\rangle=(k[x,y,z]/\langle f\rangle)/\langle \bar g\rangle.$$ Edición: una interpretación geométrica
Tenemos una incrustación $\mathbb A^1 \to \mathbb A^3: t\mapsto (t,t^2,t^3)$ con imagen una variedad afín irreducible $ V$ conocida como la curva cúbica afín torcida.
El cálculo anterior dice que esta variedad es la intersección ideal-teórica (o esquema-teórica) de las cuádricas afines $y=x^2$ y $z=x^3$ .
Es interesante observar que el cierre $\bar V$ de $V$ en $\mathbb P^3$ ya no es una intersección completa en teoría de esquemas, aunque teóricamente sea la intersección de una superficie cuádrica y una cúbica.