¿El significado de representar el simplex como una superficie del triángulo en la distribución de Dirichlet?

Question

Estoy leyendo un libro que introduce el Dirchilet de distribución y, a continuación, presentó cifras sobre ella. Pero yo no era realmente capaz de entender esas cifras. Os adjunto la figura aquí en la parte inferior. Lo que no entiendo son los significados de los triángulos.

Normalmente cuando uno quiere dibujar una función de 2 variables, se tomará el valor de var1 y va2 y, a continuación, parcela el valor de la valor de la función de estas dos variables ... lo que da una visualización en 3D de una dimensión. Pero aquí hay 3 dimensiones y otro valor para el valor de la función lo que hace una visualización en 4D espacio. Yo no puedo entender a esas cifras!

Espero que alguien pueda aclarar, por favor!

EDITAR: aquí es lo que no entiendo de la figura 2.14 a. Así que hemos sacado de K=3 dirichlet una muestra de theta (que es, básicamente, un vector) que es: theta = [theta1, theta2, theta3]. El triángulo de las parcelas [theta1, theta2, theta3]. La distancia desde el origen a cada theta_i es el valor de theta_i. A continuación, para cada theta_i es poner un vértice y conectados todos los tres verteces e hizo un triángulo. Sé que si lo enchufe [theta1, theta2, theta3] en dir(theta|un) I se obtiene un número que es la probabilidad conjunta del vector de theta. También entiendo que la probabilidad para variables aleatorias continuas es una medida de una superficie. Pero aquí tenemos 3 dimensiones por lo que la probabilidad conjunta será la medida del volumen del espacio de la rosa plano y bajo ... yo.e la pirámide. Ahora no entiendo cuál es el papel de el triángulo de aquí. Lo que está tratando de comunicar o visualizar?

Answer 1

Gráfico 2.14(a) se muestra un plano hecho por tres vértices en cada eje. La distancia de un vértice desde el origen es $\theta_i$, correspondiente a una de las $k=3$ de las clases. La región delimitada por la rosa plano y los planos de los ejes es la probabilidad de (vector) $\theta$. Ahora suponga que la inclinación del avión, de modo que usted tiene una pirámide con la rosa plano, el rostro más cercano al lector, colocado horizontalmente en la página. A continuación, suprimir la tercera dimensión "saliendo" de la página, y en lugar de color el triángulo de modo que a mayor densidad de la región, con una mayor distancia de la base a la superficie, es más rojo. Eso es lo que los gráficos 2.14(b) y 2.14(c) mostrar. El más el rojo se concentra cerca de un vértice, el más probable de la clase asociada con ese vértice. Del mismo modo, si el rojo de la región no es muy cerca para cualquier vértice, no es especialmente probable que un evento tiene una mayor probabilidad de afiliación en cualquiera de las clases.

Esta pirámide, sin embargo, sólo tiene sentido como una sola realización de la distribución Dirichlet. Dibujo de nuevo desde la misma distribución podría producir una diferente de la pirámide con diferentes longitudes $\theta$ a cada uno de los vértices. La clave de la diferencia entre (a) y (b)/(c) es que (a) muestra gráficamente la probabilidad de que una atracción de vectores $\theta$. Los gráficos de (b) y (c) muestra la densidad de probabilidad para los valores de $\theta$ $k=3$ simplex, es decir, están tratando de presentar la función de densidad de probabilidad para todos los valores de $\theta$ en el apoyo. Una manera de pensar acerca de (b) y (c) es un punto a tener color rojo adicional de acuerdo a la media de la altura entre el plano de color rosa plano y la superficie de la pirámide, promediado a lo largo de muchos sorteos de $\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$.