Pregunta sacudir de la moneda

Question

Adán, Bertrand, y Carissa lanzar una moneda en secuencia hasta que una persona gana por tirar la primera cabeza.

Si la moneda es justo, encontrar la probabilidad de que Adam gana.

Puede alguien decirme si estoy en el camino correcto?

Adam puede ganar en la primera ronda si le sale una cabeza. O él puede ganar en la segunda ronda si todos los tres de ellos rollo de las colas y luego saca una cabeza. O él puede ganar en la tercera ronda si el rollo de las colas de seis veces y, a continuación, saca una cabeza.

P(Adam gana) $= .5 + .5^4 + .5^7 + \dots + .5^{3n-2}$ donde $n=$ número de rondas.

Los pensamientos? Debo estar recibiendo una respuesta numérica aquí...?

Answer 1

Otro enfoque para obtener la misma respuesta: Si la probabilidad de que Adán gana es $p$, puede decir $p=\frac 12 + \frac 18 p$, donde $\frac 12$ viene de ganar inmediatamente, y el $\frac 18p$ viene de la posibilidad de #% de #% % todos lanzan colas y estamos en la misma condición que el comienzo, así que Ada m debe tener $\frac 18$ oportunidad de ganar desde aquí. Esto da la misma respuesta como Adriano.

Answer 2

Buen razonamiento; ¡Estás casi allí! Puesto que Adán podría ganar en 1ª ronda o ronda Ronda 2 o cualquier verdad, queremos resumir una serie infinita y tome el límite como $n \to \infty$: 0.5 + 0.5 ^ 4 + 0.5 ^ 7 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty 0.5 ^ {3n-2} = \sum_{n=1}^\infty 0.5 ^ 10.5 ^ {3n-3} = 0.5\sum_{n=1}^\infty ((0.5) ^ 3) ^ {n-1} = \ frac {0,5} {1 - 0.5 ^ 3} $$

Answer 3

Una variación en la respuesta de Ross Millikan: Si la probabilidad de que Adán gana $p$, entonces la probabilidad de que Bertrand gana es $\frac 12 p$, porque, si Adam le tira una colas, entonces Bertrand es, esencialmente, a partir de un nuevo juego.  Asimismo, la probabilidad de que Carissa gana es $\frac 14 p$.  Pero alguien tiene que ganar, así $$p + \frac 12 p + \frac 14 p = 1$ $

Answer 4

Tienes toda la razón. La probabilidad de formularios de una serie infinita:

$$0.5 + 0.5^4 + 0.5^7 + 0.5^{10}+ 0.5^{13}+\cdots$$

Esta serie es una Serie Geométrica. El primer término, $a$ $0.5$ y la razón común, $r$$0.5^3$.

Desde $|r|<1$, la infinita suma converge a una respuesta sensata. Cualquier serie geométrica $$a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$$ con $|r|<1$ tiene el infinito suma $$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

En su caso $a=0.5=\frac{1}{2}$$r=0.5^3 = \frac{1}{8}$. Poniendo estos en la fórmula:

$$S_{\infty} = \frac{1/2}{1-1/8} = \frac{1/2}{7/8} = \frac{4}{7}$$