Prueba geométrica de límite $\lim_{(x \to 0)}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$ usar Teorema del emparedado.

Question

Estoy estudiando acerca de sándwich teorema y sus aplicaciones mediante la derivación de algunos conocidos límites como este- $$\lim_{(x \to 0)}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$$ while I found some proofs of this result by first defining $e$ and then using that definition such as here(Proof of $ f(x) = (e^x-1)/x = 1 \text{ como } x\to 0$ using epsilon-delta definition of a limit)(which I agree sounds a lot easier because if one is using the Taylor series expansion of $e^x$ then it becomes very easy)but my book tries to do this in a different manner by using this inequality $$\frac{1}{1+|x|}≤\left(\frac{e^x-1}{x}\right)≤ 1 + (e – 2) |x|$$(holds for all $x$ in $[-1, 1]-[0]$)

y luego sólo tienes que utilizar sándwich teorema del límite se calcula fácilmente , pero el libro no se explica como a partir de donde esta desigualdad vino.Y yo no soy capaz de hacerlo por mí mismo ,como no soy capaz de ver cómo puede este resultado ser tan obvio, y aunque la gráfica hace que sea un poco claro(que adjunto a continuación) todavía no soy capaz de conseguir dada la desigualdad(de cualquier tipo de sugerencias no?)

Traté de buscar en este sitio, pero no se pudo encontrar,pero aún así he encontrado algunos muy cuidada aplicaciones del teorema del sandwich como aquí ( Cómo probar que $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$?) lo que me hace pensar que tal vez esta desigualdad se puede derivar fácilmente mirando la interpretación geométrica como en el enlace dado.

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Así que por favor alguien puede ayudarme en la comprensión del significado geométrico de esta desigualdad (al igual que en el límite dado en el enlace de arriba) o ayudar a derivar de la utilización de su geométricas implicaciones?

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1)Y, aunque no es posible alguien me puede ayudar en la comprensión de la desigualdad de manera intuitiva porque yo, sinceramente, no tengo ninguna idea en cuanto a cómo un extraño aspecto de la desigualdad puede estar relacionado con el límite dado,

2)Y la forma en que la desigualdad se deriva ?

3)También lo que posiblemente puede ser la motivación detrás de esta complicada la desigualdad para la obtención de este límite, hay otros extraño desigualdades también para encontrar este límite?

Answer 1

Esta es una respuesta a la OP del comentario, que es un poco largo para un comentario.

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Como he reiterado en mis comentarios a la pregunta, la evaluación de límite de $(e^{x} - 1)/x$ $x \to 0$ depende de manera crucial en la definición del símbolo $e^{x}$. Hay varios enfoques para definir $e^{x}$ (que se proporcionan aquí, aquí y aquí). Uno de estos enfoques se basa en la definición de logaritmo como una integral y el tratamiento de la función exponencial como su inversa.

OP plantea más dudas acerca de algún tipo de circularidad en la que participan aquí. Su argumento es que el concepto de integrales es en sí mismo depende de los límites y, por tanto, algo basado en las integrales no debe ser utilizado como una base para establecer un cierto límite. Sin embargo, debe quedar claro que no hay absolutamente ninguna circularidad involucrados si definimos $$\log x = \int_{1}^{x}\frac{dt}{t}$$ and further define $e^{x} = y$ if $x = \log y$. This is because the definition of $\log x$ as an integral is not dependent on any particular properties or features of $e^{x}$ (in particular the limit of $(e^{x} - 1)/x / $ as $x \to 0$. The definition of $\log x$ is based on the properties of function $1/x$ and the concept of definite integrals as a limit of sum (thus the definition of $\log x$ se basa en el concepto de límites).

Por otro lado, si se quiere evitar las integrales (porque a partir de OP punto de vista de las integrales llegado mucho más tarde en el estudio de cálculo en comparación con límites), a continuación, podemos utilizar directamente los límites para definir $e^{x}$ como sigue $$e^{x} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$ and using this definition we can easily prove that $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{x} de {- 1}{x} = 1$.

Nota, sin embargo, que tales pruebas pueden ser de enormes proporciones, tanto para los estudiantes (y profesores para explicar) en un primer curso de cálculo (el significado de los estudiantes son de la edad de 16-17 años). Es preferible ser un poco honesto y en vez de mano que se agita para introducir las funciones de $\log x, e^{x}, a^{x}$, con una lista de sus propiedades, incluyendo los siguientes límites estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1 = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1}{x},\, \lim_{x \to 0}\frac{a^{x} - 1}{x} = \log a$$ y mencionar que estas propiedades puede ser o será demostrado más adelante en un curso de cálculo avanzado/análisis real.

Sin embargo he visto que la mayoría de los instructores casi siempre prefiere a mano que se agita en lugar de diferir el enfoque riguroso para posteriores cursos. Esta es una de las razones por las que muchos estudiantes se sienten confundidos (OP parece ser una verdadera víctima de este fraude intelectual porque su libro de autor se ha atrevido a probar el límite de $(e^{x} - 1)/x$ a través de el teorema del sándwich sin una definición de $e^{x}$).

Answer 2

no estoy seguro si se nos permite usar integrales, si, entonces utilizamos el teorema del valor medio para integrales, puedo escribir $$ \frac{1-e^x}{x} = \frac 1x\int_0^x e^t \, dt = e^{\theta x} \text{ for some $0 < \theta < 1$}.$$ we now use the fact that $e^{\theta x} $ is between $e ^ x $ and $1 $ to conclude the limit as $x $ tend to $0 $ is $1$ utilizando el teorema del apretón.

p.d.: puedo probar la desigualdad $$f(x) = \frac x{x+1} \le e^x - 1 = g(x)$$ by showing that $g $ is concave up and $f $ is concave down. we also have one common tangent $y = x $ at $x = 0, y = 0$ which gives us $$\frac x{x+1} \le x \le e^x - 1 $$ equality iff $x = 0. $

Puedo Mostrar la desigualdad de otros también. sólo necesitamos mostrar $x > 0$ que $$h(x) = e^x-1 \le x + bx^2 = j(x)$$ we know that the graph of $h$ will cross the graph of $j.$ we just choose $b$ so that they cross at $x = 1.$ that means $e-1 = 1 + b $ which gives you the value for $b = e-2. $

Answer 3

Simplemente jugando a ver qué pasa.

Si $e(x+y) =e(x)e(y) $ con $e'(0) = 1$, entonces $e(x+h) =e(x)e(h) $ así $e(x+h)-e(x) =e(x) e(h)-1) $ así, dejando $h \to 0$ y el uso de $e(0) = 1$, $e'(x) =e(x)e'(0) =e(x) $.

Por lo tanto, $e(x)-1 =\int_0^x e(t) dt $.

Desde $e(x) > 0$ todos los $x$, para $x > 0$, de $e(x) =1+\int_0^x e(t) dt $, llegamos de forma secuencial, $e(x) > 1$, $e(x) > 1+x$, $e(x) > 1+x+\frac{x^2}{2}$, de modo que, por inducción, para cualquier $n \ge 0$, $e(x) \gt \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} $.

Para un límite superior en $e(x)$, suponga que $0 < x < 1$ (ya que no hay no polinomio obligado para todos los $x$).

Deje $f(x) = e(x)(1-x)$. $f(0) = 1$. $f'(x) =e'(x)(1-x)-e(x) =e(x)(1-x)-e(x) =-xe(x) < 0 $ así $f(x)$ es la disminución de la para $x > 0$. Por lo tanto $f(x) < f(0) = 1$, así $e(x) < \frac1{1-x}$.

Para obtener una lineal obligado en $e(x)$, supongamos que $0 < x < a < 1$. Queremos una $c > 1$ tal que $\frac1{1-x} \le 1+cx $ para $0 < x \le a$.

Este es $1 \le (1-x)(1+cx) =1+x(c-1)-cx^2 $ o $cx \le c-1$ o $c(1-x) \ge 1$ o $c \ge \frac1{1-x} $.

Desde $x \le a$, $\frac1{1-x} \le \frac1{1} $, así $c =\frac1{1} $ obras.

Por lo tanto $e(x) \le 1+\frac{x}{1} $ para $0 < x < a < 1$.

Lo voy a dejar esto.