Un problema límite difícil que implica $1/(\sin x - \sin a)$ y su generalización

Question

Hace tiempo me encontré con el siguiente problema en Matemáticas puras de Hardy (originalmente del infame Tripos matemáticos 1896 ):

Si $$f(x) = \frac{1}{\sin x - \sin a} - \frac{1}{(x - a)\cos a}$$ entonces demuestre que $$\frac{d}{da}\{\lim_{x \to a}f(x)\} - \lim_{x \to a}f'(x) = \frac{3}{4}\sec^{3}a - \frac{5}{12}\sec a$$

Yo lo había resuelto usando expansiones en serie de Taylor y aun así implicaba una buena cantidad de cálculos. Supongo que aplicar L'Hospital sería aún más arduo.

Por otro lado, tanto la serie de Taylor como la regla de L'Hospital se discuten más adelante en el libro de Hardy, lo que sugiere que podría resolverse mediante técnicas elementales (es decir, utilizando el álgebra de límites y el teorema de Squeeze y, si es necesario, se puede utilizar el teorema del valor medio). Por favor, dígame si tal solución es posible.

También creo que podría haber una generalización adecuada aplicable a las funciones de tipo $$g(x) = \frac{1}{\phi(x) - \phi(a)} - \frac{1}{(x - a)\phi'(a)}$$ y quizás la expresión $$\frac{d}{da}\{\lim_{x \to a}g(x)\} - \lim_{x \to a}g'(x)$$ tiene cierta importancia. Cualquier idea en este sentido sería útil.

Answer 1

Esta NO es una respuesta completa, sino sólo una pequeña contribución a la misma. Por favor, considérela como una pista. En primer lugar, recuerde que \begin {equation*} f(x)= \frac {1}{ \sin x- \sin a}- \frac {1}{(x-a) \cos a} \end {equation*} Tenemos que demostrar que \begin {equation*} \frac {d} {da} {d} \lim_ {x \rightarrow a}f(x)\N- \lim_ {x \rightarrow a}f^{ \prime }(x)= \frac {3}{4} \sec ^{3}a- \frac {5}{12} \sec a. \end {equation*} Este es el problema original que se pide. Como parece que es difícil resolverlo, sugiero dividirlo en cuatro subproblemas "pequeños" como sigue.

1. $\bf{[P1.]}$ Demostrar que \begin {equation*} f^{ \prime }(x)= \frac { \sec a}{(x-a)^{2}}- \frac { \cos x}{( \sin x- \sin a)^{2}}. \end {equation*}
2. $\bf{[P2.]}$ Demostrar que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a}f^{ \prime }(x)= \frac { \sec ^{3}a}{4}- \frac { \sec a}{12}. \end {equation*}
3. $\bf{[P3.]}$ Demostrar que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a}f(x)= \frac {1}{2} \sec a \tan a. \end {equation*}
4. $\bf{[P4.]}$ Demostrar que \begin {equation*} \frac {d} {da} {d} \lim_ {x \rightarrow a}f(x)\N-ES= \sec ^{3}a- \frac {1}{2} \sec a. \end {equation*} De hecho, si se resuelven estos subproblemas, el problema original es el siguiente \begin {equation*} \frac {d} {da} {d} \lim_ {x \rightarrow a}f(x)\N- \lim_ {x \rightarrow a}f^{ \prime }(x)= \left ( \sec ^{3}a- \frac {1}{2} \sec a \right ) - \left ( \frac { \sec ^{3}a}{4}-% \frac { \sec a}{12} \right ) = \frac {3}{4} \sec ^{3}a- \frac {5}{12} \sec a. \end {equation*}

La afirmación $\bf{[P1.]}$ se deduce tras unos sencillos cálculos.

Si asumimos $\bf{[P3.]}$ entonces $\bf{[P4.]}$ se deduce fácilmente ya que \begin {equation*} \frac {d} {da} {d} \lim_ {x \rightarrow a}f(x)\N-ES= \frac {d} {da} {d} \frac {1}{2} \sec a \tan a\}= \sec ^{3}a- \frac {1}{2} \sec a\ \ \ \ \text {después de simples cálculos.} \end {equation*} Por lo tanto, el problema original se convierte en los dos problemas $\bf{[P2.]}$ y $\bf{[P3.]}$ citado anteriormente.

$\bf{UPDATE1:}$ Resolveré P3, es decir, demostraré que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a} \frac {1}{ \sin x- \sin a}- \frac {1}{(x-a) \cos a}= \frac {1}{2% } \sec a \tan a. \end {equation*} Utilizaré los "límites estándar \begin {eqnarray*} \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a}{x-a} &=& \cos a \\ \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a-(x-a) \cos a}{ \left ( x-a \right ) ^{2}} &=&- \frac {1}{2} \sin a. \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} \frac {1}{ \sin x- \sin a}- \frac {1}{(x-a) \cos a} &=& \frac {(x-a) \cos a- \sin x+ \sin a}{ \left ( \sin x- \sin a \right ) (x-a) \cos a} \\ &=&- \frac { \frac { \sin x- \sin a-(x-a) \cos a}{(x-a)^{2}}{ \frac { \left ( \sin x- \sin a \right ) (x-a) \cos a}{(x-a)^{2}} \\ &=&- \frac { \frac { \sin x- \sin a-(x-a) \cos a}{(x-a)^{2}}{ \frac { \left ( \sin x- \sin a \right ) }{(x-a)} \cos a} \end {eqnarray*} entonces \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a} \frac {1}{ \sin x- \sin a}- \frac {1}{(x-a) \cos a}% =- \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \frac { \sin x- \sin a-(x-a) \cos a}{(x-a)^{2}}{% \frac { \left ( \sin x- \sin a \right ) }{(x-a)} \cos a}=- \frac {- \frac {1}{2} \sin a}{% \cos a \cos a}= \frac {1}{2} \sec a \tan a. \end {equation*} $\bf{UPDATE2:}$ I\Nresolverá P2 de la siguiente manera. \begin {equation*} \frac { \sec a}{(x-a)^{2}}- \frac { \cos x}{( \sin x- \sin a)^{2}}= \frac { \sec a( \sin x- \sin a)^{2}- \cos x(x-a)^{2}}{(x-a)^{2}( \sin x- \sin a)^{2}} \end {equation*}% \begin {equation*} = \frac { \sec a( \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \cos a(x-a))^{2}-( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a)+ \cos a- \sin a(x-a))(x-a)^{2}}{(x-a)^{2}( \sin x- \sin a)^{2}} \end {equation*}

Consideremos la parte izquierda del numerador \begin {eqnarray*} \sec a([ \sin x- \sin a- \cos a(x-a)]+ \cos a(x-a))^{2} &=& \sec a( \sin x- \sin a- \cos a(x-a))^{2} \\ &&+2(x-a)( \sin x- \sin a- \cos a(x-a)) \\ &&+ \cos a(x-a)^{2} \end {eqnarray*} ahora la parte derecha del numerador% \begin {eqnarray*} ( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a)+ \cos a- \sin a(x-a))(x-a)^{2} &=& \left ( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a) \right ) (x-a)^{2} \\ &&+( \cos a)(x-a)^{2}- \sin a(x-a)^{3} \end {eqnarray*} ahora el numerador completo \begin {eqnarray*} && \sec a([ \sin x- \sin a- \cos a(x-a)]+ \cos a(x-a))^{2} \\ &&-( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a)+ \cos a- \sin a(x-a))(x-a)^{2} \\ &=& \sec a( \sin x- \sin a- \cos a(x-a))^{2} \\ &&+2(x-a)( \sin x- \sin a- \cos a(x-a)) \\ &&+( \cos a)(x-a)^{2}- \left ( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a) \right ) (x-a)^{2}-( \cos a)(x-a)^{2}+ \sin a(x-a)^{3} \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} &=& \sec a( \sin x- \sin a- \cos a(x-a))^{2} \\ &&+2(x-a)( \sin x- \sin a- \cos a(x-a)) \\ &&- \left ( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a) \right ) (x-a)^{2} \\ &&+ \sin a(x-a)^{3} \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} &=& \sec a( \sin x- \sin a- \cos a(x-a))^{2} \\ &&- \left ( \cos x- \cos a+ \sin a(x-a) \right ) (x-a)^{2} \\ &&+2(x-a)( \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}) \end {eqnarray*} Ahora tenemos \begin {eqnarray*} \lim_ {x \rightarrow a}f^{ \prime }(x) &=& \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \frac { \sec a( \sin x- \sin a)^{2}- \cos x(x-a)^{2}}{(x-a)^{4}}}{ \frac {(x-a)^{2}( \sin x- \sin a)^{2}}{(x-a)^{4}} \\ &=& \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sec a( \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)}{% (x-a)^{2}})^{2}- \left ( \frac { \cos x- \cos a+ \sin a(x-a)}{(x-a)^{2}} \right ) +2(% \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}})}{% \left ( \frac { \sin x- \sin a}{x-a} \right ) ^{2}} \end {eqnarray*} Ahora usando los límites estándar

\begin {eqnarray*} \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a}{x-a} &=& \cos a \\ \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a- \left ( \cos a \right ) (x-a)}{% (x-a)^{2}} &=&- \frac {1}{2} \sin a \\ \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \cos x- \cos a+ \left ( \sin a \right ) (x-a)}{% (x-a)^{2}} &=&- \frac {1}{2} \cos a \\ \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a- \left ( \cos a \right ) (x-a)+ \frac {1}{% 2} \left ( \sin a \right ) (x-a)^{2}}{(x-a)^{3}} &=&- \frac {1}{6} \cos a \end {eqnarray*} se obtiene \begin {eqnarray*} \lim_ {x \rightarrow a}f^{ \prime }(x) &=& \frac { \sec a(- \frac {1}{2} \sin a)^{2}- \left ( - \frac {1}{2} \cos a \right ) +2(- \frac {1}{6} \cos a)}{ \left ( \cos a \right ) ^{2}} \\ &=& \frac { \frac {1}{4} \sec a \sin ^{2}a+ \frac {1}{2} \cos a- \frac {1}{3} \cos a}{% \cos ^{2}a} \\ &=& \frac { \frac {1}{4} \sec a(1- \cos ^{2}a)+ \frac {1}{6} \cos a}{ \cos ^{2}a} \\ &=& \frac { \frac {1}{4} \sec a- \frac {1}{4} \cos a+ \frac {1}{6} \cos a}{ \cos ^{2}a} \\ &=& \frac { \frac {1}{4} \sec a- \frac {1}{12} \cos a}{ \cos ^{2}a} \\ &=& \frac { \sec ^{3}a}{4}- \frac { \sec a}{12}. ¡Así fue como se mostró! \end {eqnarray*}

$\color{red}{\bf{UPDATE}}$

Aquí hay una prueba de que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a} \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}}=- \frac {1}{6}( \cos a) \end {equation*} que no utiliza la regla de L'HOSPITAL, y utiliza los siguientes hechos: \begin {equation*} \begin {array}{ll} \text {Hecho 1. } & -1 \left. \leq \right. \sin x \left. \leq \right. 1,\ \ \ x \in %TCIMACRO{ \U {211d} } %BeginExpansion \mathbb {R} %EndExpansion \\ \text {Hecho 2.} & f(t) \leq g(t),\Nt \in \left [ a,b \right ] \Longrightarrow \int_ {a}^{b}f(t)dt \leq \int_ {a}^{b}g(t)dt \\ \text {Hecho 3.} & \text {Teorema fundamental del cálculo:} \int_ {a}^{b}F^{ \prime }(t)dt=F(b)-F(a). \\ \text {Hecho 4.} & \left ( \sin x \right ) ^{ \prime }= \cos x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~ - \ ~ - y \ \left ( \cos x \right ) ^{ \prime }=- \sin x \\ \text {Hecho 5.} & \text {Teorema del apretón.} \end {array} \end {equation*} En realidad, asumo que $x>a$ y demostrar que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a^{+}} \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}}=- \frac {1}{6}( \cos a). \end {equation*} Hay que hacer algunas adaptaciones sencillas para tratar el caso $x<a$ . \begin {eqnarray*} -1 \left. \leq \right. \sin x \left. \leq \right. 1 & \Longrightarrow & \int_ {a}^{x}(-1)dt \leq \int_ {a}^{x} \sin tdt \leq \int_ {a}^{x}dt \\ & \Longrightarrow &-(x-a) \leq - \cos x+ \cos a \leq (x-a) \\ & \Longrightarrow &- \int_ {a}^{x}(t-a)dt \leq \int_ {a}^{x}(- \cos t+ \cos a)dt \leq \int_ {a}^{x}(t-a)dt \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{2}(x-a)^{2} \leq - \sin x+ \sin a+ \cos a(x-a) \leq \frac {1}{2}(x-a)^{2} \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{2} \int_ {a}^{x}(t-a)^{2}dt \\ & \leq & \int_ {a}^{x}(- \sin t+ \sin a+( \cos a)(t-a))dt \\ & \leq & \frac {1}{2} \int_ {a}^{x}(t-a)^{2}dt \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{6}(x-a)^{3} \leq \cos x- \cos a+ \sin a(x-a)+ \frac {1% }{2}( \cos a)(x-a)^{2} \\ & \leq & \frac {1}{6}(x-a)^{3} \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{6} \int_ {a}^{x}(t-a)^{3}dt \leq \int_ {a}^{x}( \cos t- \cos a+ \sin a(t-a)+ \frac {1}{2}( \cos a)(t-a)^{2})dt \\ & \leq & \frac {1}{6} \int_ {a}^{x}(t-a)^{3} \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{24}(x-a)^{4} \\ & \leq & \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}+ \frac {1}{6}( \cos a)(x-a)^{3} \\ & \leq & \frac {1}{24}(x-a)^{4} \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{24}(x-a)^{4}- \frac {1}{6}( \cos a)(x-a)^{3} \\ & \leq & \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2} \\ & \leq &- \frac {1}{6}( \cos a)(x-a)^{3}+ \frac {1}{24}(x-a)^{4} \\ & \Longrightarrow &- \frac {1}{24}(x-a)^{3}- \frac {1}{6}( \cos a) \\ & \leq & \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}} \\ & \leq &- \frac {1}{6}( \cos a)+ \frac {1}{24}(x-a) \\ & \Longrightarrow & \lim_ {x \rightarrow a^{+}} \left ( - \frac {1}{24}(x-a)^{3}-% \frac {1}{6}( \cos a) \right ) \\ & \leq & \lim_ {x \rightarrow a^{+}} \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2}% \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}} \\ & \leq & \lim_ {x \rightarrow a^{+}}- \frac {1}{6}( \cos a)+ \frac {1}{24}(x-a) \end {eqnarray*} Por el teorema de squeeze se deduce que \begin {equation*} \lim_ {x \rightarrow a^{+}} \frac { \sin x- \sin a- \cos a(x-a)+ \frac {1}{2} \sin a(x-a)^{2}}{(x-a)^{3}}=- \frac {1}{6}( \cos a). \end {equation*}

@Paramanand, Estos cálculos demuestran a la vez la existencia del límite y proporcionan su valor. No utiliza LHR pero estoy de acuerdo contigo en que hace uso de los asuntos (Hechos 2 y 3) [discutidos más adelante en el libro de Hardy].