Pregunta: Si $x \ge 0$ y $y \ge 0$ entonces el área delimitada por la gráfica de $ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor =2 $ con el $x$ y $y$ -¿El eje es? Respuesta proporcionada: $3$ unidades $^2$ .
Mi duda: ¿Cómo graficamos esta relación para encontrar el área?
Como se ha señalado, el "gráfico" de la relación no es una curva unidimensional, sino una serie de regiones no superpuestas. Es de suponer que la pregunta se refiere a encontrar el área de las regiones del primer cuadrante.
Si $x,y\ge0$ entonces también $\lfloor x\rfloor,\lfloor y\rfloor\ge0$ y así $\lfloor x\rfloor,\lfloor y\rfloor=0,1,2$ son los únicos valores posibles.
Primero considere $\lfloor y\rfloor=0$ (es decir $0\le y<1$ ). Tenemos $\lfloor x\rfloor=2$ Es decir, $2\le x<3$ por lo que tenemos el cuadrado unitario $$\{(x,y):2\le x<3,0\le y<1\}$$ Asimismo, $\lfloor y\rfloor=1$ da lugar al cuadrado unitario $$\{(x,y):1\le x,y<2\}$$ y $\lfloor y\rfloor=2$ al cuadrado de la unidad $$\{(x,y):0\le x<1,2\le y<3\}$$ Estos cuadrados no se superponen, por lo que el área total es $3$ .
$\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros no negativos. Así que encuentra los pares de enteros no negativos $(A,B)$ para que $A + B = 2$ . Para cada uno de estos $(A,B)$ , hallar el conjunto de $(x,y)$ valores para los que $\lfloor x \rfloor = A$ y $\lfloor y \rfloor = B$ .
El resultado no es una curva. Para $(A,B) = (1,1)$ el conjunto de todos los $(x,y)$ valores es cada punto dentro del cuadrado con la esquina inferior izquierda $(1,1)$ y la esquina superior derecha $(2,2)$ . El cuadrado incluye los límites inferior e izquierdo, pero ninguno de los límites superior y derecho.
Cuando grafico a través de Desmos, aquí el área es 6. Obsérvese que los puntos $(0,3), (1,3), (1,2), (2,2), (2,1), (3,1), (3,0)$ no forman parte de la zona delimitada, pero están todos arbitrariamente cerca de ella. (En otras palabras $(2,2)$ no es parte de la zona delimitada, pero $2-\epsilon,2-\delta$ (para un valor positivo arbitrariamente pequeño $0<\epsilon,\delta<1$ ) es.) Junto con el punto $(0,0)$ perfilan la zona.
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Gracias a las aportaciones de GFauxPas y AkivaWeinberger, sostengo que el límite superior se parece a este (imagen creada por AkivaWeinberger), con el límite superior "abierto" en el sentido de que $(2,2)$ no es parte de la relación, pero $2-\epsilon,2-\epsilon$ (para un valor positivo arbitrariamente pequeño $0<\epsilon<1$ ) es. Esto supone que $x,y \in \mathbb{R}$ que no se especifica en el OP.
IMO, esto lleva a la ambigüedad a la hora de determinar si el área ocupada por la relación debe incluirse en el área delimitada por la relación, el eje x y el eje y. Yo veo 4 posibilidades:
Ya que el OP dice que la respuesta especifica un área de $3$ Eso eliminaría el número 1, pero asumir la respuesta a priori no es lo ideal.
Conclusión: la pregunta necesita ser aclarada.
Tenga en cuenta que $$ \left\lfloor x \right\rfloor = a\quad \Rightarrow \quad a \leqslant x < a + 1 $$ y por lo tanto $$ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor = 2 \hfill \\ 0 \leqslant \left\lfloor x \right\rfloor ,\left\lfloor y \right\rfloor \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant a \leqslant x < a + 1 \hfill \\ 0 \leqslant 2 - a \leqslant y < 2 - a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \text{integer}\;a \leqslant 2 \hfill \\ a \leqslant x < a + 1 \hfill \\ 2 - a \leqslant y < 2 - a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $$
Por lo tanto, la respuesta $3$ se refiere al área de la región definida por la condición ${\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor = 2}$ en sí mismo . $$ \begin{gathered} R = \left\{ {(x,y):\;\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor = 2} \right\}\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor = 2} {dxdy} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,a\, \leqslant 2} {\int_{x = a}^{a + 1} {\int_{y = 2 - a}^{2 - a + 1} {dxdy} } } = \sum\limits_{0\, \leqslant \,a\, \leqslant 2} 1 = 3 \hfill \\ \end{gathered} $$
El área delimitada por la condición dada y el $x$ y $y$ los ejes serán en cambio $$ \begin{gathered} S = \left\{ {(x,y):\;\left\{ \begin{gathered} \;0 \leqslant \text{integer}\;a \leqslant 2 \hfill \\ 0 \leqslant x < a + 1 \hfill \\ 0 \leqslant y < 2 - a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad } \right\}\quad \Rightarrow \quad \int\limits_S {dxdy} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,a\, \leqslant 2} {\int_{y = 0}^{2 - a + 1} {dy} } = \sum\limits_{0\, \leqslant \,a\, \leqslant 2} {\left( {2 - a + 1} \right)} = \hfill \\ = 3 + 2 + 1 = 6 \hfill \\ \end{gathered} $$
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