Mostrar que no hay número natural$n$ tal que$3^7$ es la mayor potencia de$3$ divisoria$n!$

Question

Mostrar que no hay un número natural$n$ tal que$7$ es la mayor potencia$a$ de$3$ para la cual$3^a$ divide% #%

Después de hacer algunas investigaciones, no pude entender cómo empezar o qué hacer para demostrar esto.

Tenemos$n!$ $ No sé de dónde, o qué hacer para solucionarlo.

Answer 1

Por $n=15,\left[\frac{15}{3} \right]+\left[\frac{15}{3^2} \right]+\left[\frac{15}{3^3} \right]+\;...=6$
para$n=18$ (el siguiente múltiplo de$3$)$\left[\frac{18}{3} \right]+\left[\frac{18}{3^2} \right]+\left[\frac{18}{3^3} \right]+\;...=8$
Si$n\geq 18$ entonces$\left[\frac{n}{3} \right]+\left[\frac{n}{3^2} \right]+\left[\frac{n}{3^3} \right]+\;...\geq 8$
Así que no hay posibilidad de$7$

Answer 2

Sugerencia: ¿Cuál es el valor más pequeño$n_1$ tal que$3^7\mid (n_1)!$? ¿Cuál es el mayor valor$n_0$ tal que$3^7\nmid (n_0)!$? ¿Cuál es el mayor exponente$k$ tal que$3^k\mid (n_1)!$?