Estoy atascado en esta pregunta, pidiendo el número de secuencias distintas de longitud 10, que contienen al menos 5 As o 5 Bs consecutivas (por ejemplo ABABBBBBBA debería contarse, al igual que ABBBBAAAAA). Sé que hay 1024 cadenas posibles, pero no estoy seguro de cómo hacer el cálculo sin escribir explícitamente código para sumar todas las posibilidades. ¿Cómo puedo abordar esta cuestión sin escribir todas las posibilidades?
Consideremos el caso en el que hay exactamente $5$ consecutivos de A. Los posibles arreglos son
\begin{align} &AAAAABCCCC\\ &BAAAAABCCC\\ &CBAAAAABCC\\ &CCBAAAAABC\\ &CCCBAAAAAB\\ &CCCCBAAAAA \end{align}
donde el personaje $C$ puede ser un $A$ o un $B$ . Por lo tanto, hay $2(2^4 + 2^3 + 2^3) = 64$ posibles cadenas con $5$ consecutivos de A. Puede repetir el mismo procedimiento para $6,7,8,9$ y $10$ consecutivos de A para obtener un recuento del número total de cadenas con al menos $5$ consecutivos de A. Naturalmente, este es también el número total de cadenas con al menos $5$ consecutivos de B. Sumando estos y restando $2$ dará la respuesta final. Es necesario restar $2$ ya que hemos contado los arreglos $AAAAABBBBB$ y $BBBBBAAAAA$ cada una de ellas dos veces y, por lo tanto, han contado de más en $2$ . El total después de restar $2$ es $222$ .
Limítese a $AAAAA$ .
O bien la secuencia comienza con $AAAAA$ y tenemos 32 opciones más.
O la secuencia está precedida por un $B$ . Entonces nos quedan 4 puestos, que pueden ser cubiertos al azar $2^4$ y tanto a la izquierda como a la derecha (5).
Añade: $32+5*16$ multiplícalo por dos: $224$
El único caso del que no estoy seguro es $BBBBBAAAAA$ Puede que tenga una doble contabilidad ahí.
** efectivamente, doblemente contados ambos $BBBBBAAAAA$ y $AAAAABBBBB$ resta 2.
Validado con un pequeño programa informático: el resultado 222 es correcto
El función generadora para el número de cadenas con un máximo de $4$ Como en una fila y $4$ B en una fila es $$ \begin{align} g(x) &=\overbrace{\ \frac{1-x^5}{1-x}\ }^\text{$0$-$4$ A}\overbrace{\frac{1\vphantom{x^5}}{1-\underbrace{\frac{x-x^5}{1-x}}_\text{$1$-$4$ B}\underbrace{\frac{x-x^5}{1-x}}_\text{$1$-$4$ A}}}^\text{$0$+}\overbrace{\ \frac{1-x^5}{1-x}\ }^\text{$0$-$4$ B}\\ &=\frac{1-x^5}{1-2x+x^5}\\ &=1+2x+4x^2+8x^3+16x^4+30x^5+\sum_{n=6}^\infty a_nx^n \end{align} $$ donde $a_n=2a_{n-1}-a_{n-5}$ para $n\ge6$ . Esta recurrencia se desprende de la $1-2x+x^5$ en el denominador. Calculando varios términos más, obtenemos $$ \sum_{n=6}^{10} a_nx^n=58x^6+112x^7+216x^8+416x^9+802x^{10} $$ Dado que hay un total de $2^{10}=1024$ cadenas de $10$ As o B, conseguimos que haya $1024-802=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{222}$ cadenas de $10$ As o B con al menos $5$ Como en una fila o $5$ B en una fila.
Utilizando este enfoque, se puede calcular la longitud media de la cadena más larga de As o Bs consecutivas. Para una cadena de longitud $10$ Es decir, es $3.662109375$ .
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