Necesito mostrar en concreto utilizando la inducción transfinita que dados dos conjuntos ordenados $\left(A,<_{1}\right)$ $\left(B,<_{2}\right)$ sólo hay un isomorfismo entre ellos. Para ello quiero demostrar por inducción que sólo hay una manera de definir la asignación y que es: $$\forall\, x\in A: \varphi\left(x\right)=\min\left(B\backslash\varphi\left(\left\{ a\in A\,:\, a<_{1}x\right\} \right)\right)$$ Mostrando la base de la inducción es ningún problema y la inducción de la hipótesis sería que $$\forall\, y<_{1}x\,:\,\varphi\left(y\right)=\min\left(B\backslash\varphi\left(\left\{ a\in A\,:\, a<_{1}y\right\} \right)\right)$$ My problem is that I can't seem to manage to use the hypothesis in order to prove the step. I've found a couple of ways to show this definition of the mapping is indeed necessary but none of those used the induction hypothesis. My plan was to mark $$c_{0}=\min\left(B\backslash\varphi\left(\left\{ a\in A\,:\, a<_{1}x\right\} \right)\right)$$ Utilizando el hecho de $\varphi$ es surjective tome $y\in A$ tal que $\varphi\left(y\right)=c_{0}$ y demostrar que no puede ser que $y<_{1}x$ o $x<_{1}y$, por lo que, necesariamente,$y=x$. Si alguien me podría dar una muestra de uno de estos que son falsas, usando la hipótesis de inducción se iba a solucionar mi problema.
Muchas gracias!
