¿Qué aplicaciones del Teorema de Residuos a la integración real han tenido el mayor impacto fuera de las matemáticas puras?

Question

Un típico estudiante universitario (al menos en América del Norte) aprende acerca de la integración real de los valores de las funciones de una variable real, y aprende algunas de sus aplicaciones a la ciencia y la probabilidad, por ejemplo, la informática cosas como la masa, la carga, el trabajo, o el valor esperado de una variable aleatoria continua. Ellos también se les enseña varias técnicas de integración, tales como el cambio de variables, integración por partes, parcial fracción de descomposición, etc. En algún momento más tarde, aprenden algunos análisis complejo, y, en particular, el Teorema de los Residuos. Con un poco de ingenio, se puede utilizar este teorema sobre la integración compleja de las funciones de las curvas en el complejo de avión para calcular integrales de funciones reales de más de (partes de) la recta real, por ejemplo:

$$\int_0^\infty\frac{\cos(ax)}{x^2+1}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a > 0)$$

Mi pregunta es, como en el título. Por ejemplo, ¿ha habido algún momento en la historia cuando los físicos se benefició enormemente de saber calcular un cierto real integral, cuyo cálculo a través de la no-métodos complejos, no era conocido en el momento, o quizás era demasiado difícil?

Answer 1

Se utiliza todo el tiempo en física, especialmente en mecánica cuántica. El libro de texto de física matemática "Métodos Matemáticos para Físicos" de Arfken & Weber tiene tres aplicaciones en el capítulo 7.1 en los ejemplos y problemas:

Oscilador clásico forzado:$\ddot{x} + \omega_0x(t) = f(t),$ donde se encuentra la función de Green.

Dispersión mecánica cuántica:$I(\sigma) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin(x)\;dx}{x^2-\sigma^2}$

Teoría cuántica de las colisiones atómicas:$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(t)}{t}\;e^{ipt}\;dt$