Asintótica de términos y errores en la aproximación de Stirling

Question

Tengo dos preguntas relacionadas. Ambas están relacionadas con la asintótica de la aproximación de Stirling, por lo que las he incluido en la misma pregunta. Separaré las preguntas si se considera necesario.

Consideremos la aproximación de Stirling. $$n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left(\frac{1}{n} \right)\right)$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = 1$$ Los términos exactos de la expresión se describen con mayor precisión mediante La serie de Stirling . Lamentablemente la serie es no convergente por lo que en algún momento, para cada $n$ hay un término $a_{f(n)}$ de la expansión en cuyo punto se suman los términos aumenta la magnitud del error relativo.

$f : \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}$ y para $n$ en el dominio, $f(n)$ se define como el rango en el que la magnitud de los términos en la expansión asintótica de la relación $\frac{n!}{\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left(1+ \frac{1}{12n} + \cdots\right)}$ comienza a aumentar.

Mi primera pregunta es qué se sabe sobre $f(n)$ ? Creo que se sabe que $f(n)$ es monótonamente creciente. ¿Conocemos el crecimiento asintótico de $f(n)$ ? En caso afirmativo, ¿existe una expresión sencilla y cerrada conocida para $f(n)$ ?

Mi segunda pregunta tiene que ver con las tasas de error de la aproximación de Stirling y depende de que se haya resuelto la primera pregunta. Por supuesto se sabe que en el límite el error relativo de aproximación del factorial de $n$ se acerca a $0$ . Sin embargo, si uno estuviera interesado en saber con qué rapidez la serie se aproxima bien a la función, la simple convergencia en el límite no es suficiente. Me gustaría conocer la tasa de convergencia de la secuencia $g(n) = \sum\limits_{i=0}^{f(n)} {a_i}$ en la aproximación de $n!$ . (Aquí $a_i$ son términos de la serie Stirling).

Answer 1

El libro de Temme, sugerido por J.M., ofrece un análisis explícito de los términos del resto. Sin embargo, no lo hace para la serie de Stirling de $n!$ pero para un tamaño similar $n$ expansión asintótica de $\ln n!$ : $$ \ln n! \sim n(\ln n - 1) + \frac{1}{2}(\ln n + \ln 2\pi) + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} R_k,\quad\mbox{where}\quad R_k=\frac{B_{2k}}{k(2k-1)n^{2k-1}}\qquad (1) $$ y $B_{2k}$ denotan Números de Bernoulli , véase DLMF . En la página 65, Temme muestra que el error de la expansión truncada está limitado por la magnitud del primer término despreciado. Por lo tanto, el truncamiento óptimo es en el término más pequeño de la suma. Teniendo en cuenta que $B_{2k}\sim 4\sqrt{\pi k}(k/\pi e)^{2k}$ puede escribir $$ R_k\sim \frac{4\sqrt{k}}{\sqrt{\pi}e(2k-1)} \left(\frac{k}{\pi e n}\right)^{2k-1}. $$ El primer factor es irrelevante para el orden principal. Es entonces un ejercicio fácil establecer que cuando $C$ es grande, el mínimo de la función $(x/C)^{2x-1}$ se consigue cuando $x\approx C/e$ . Por lo tanto, el tránsito óptimo se consigue en $k\approx\pi n$ , por lo que su $f(n)\approx\pi n$ , tal y como lo obtuvo robjohn.

Este resultado puede confirmarse representando los errores relativos obtenidos al utilizar las expansiones (1) truncadas en $N$ de la semana. La curva roja se calcula para $n=10$ mientras que la curva azul se calcula para $n=20$ .

Una fórmula igualmente sencilla para $f(n)$ en el caso de la serie de Stirling no es muy probable que exista, porque los términos tardíos de la serie de Stirling no disminuyen (o aumentan) de forma monótona, véase W. G. C. Boyd "Gamma Function Asymptotics by an Extension of the Method of Steepest Descents", Proc. R. Soc. Lond. A, 447(1931), 609-630 (1994) . Sin embargo, el documento de Boyd sí ofrece un análisis del estado del error del resto de la serie de Stirling truncada, por lo que ofrece una respuesta a su segunda pregunta. Boyd también proporciona expresiones asintóticas sencillas para los coeficientes de la serie de Stirling, por lo que debería ser capaz de construir una asintótica para $f(n)$ de los resultados dados en su documento.

Answer 2

La fórmula de la suma de Euler-Maclaurin tiene la forma $$ \sum_{k\le n}\;f(k)=\int^n f(x)\;\mathrm{d}x+\frac{1}{2}f(n)+\sum_{k\ge1}a_{2k}f^{(2k-1)}(n)\tag{1} $$ donde $\limsup\limits_{k=\infty}\;|a_{2k}|^{1/k}=\dfrac{1}{4\pi^2}$ . Esto se debe a que $$ \frac{x}{1-e^{-x}}=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\tag{2} $$ y la serie en $(2)$ tiene un radio de convergencia de $2\pi$ .

Para $\log(n!)$ , $f(n)=\log(n)$ Así que $|f^{(2k-1)}(n)|=\dfrac{(2k-2)!}{n^{2k-1}}$ . Por lo tanto, los términos de la serie de Euler-Maclaurin para $\log(n!)$ crecer algo así como $\dfrac{(2k-2)!}{(2\pi n)^{2k-1}}$ . Dado que las series de cada $e^{n^{-k}}$ converge (al exponer la expansión asintótica para $\log(n!)$ ), esperaría que los términos de la serie asintótica para $\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}$ también crecería de la misma manera. Por lo tanto, creo que los términos de la fórmula de Stirling empezarían a aumentar cuando $k\sim\pi n$ .

Answer 3

La expansión de Stirling puede escribirse como $$n! \sim \sqrt {2\pi } n^{n+1/2} e^{ - n} \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\gamma _k }}{{n^k }}}.$$ Es conocido que $$ \gamma _{2k + 1} = \frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{\pi }\frac{{\Gamma ( 2k + 1)}}{{\left( {2\pi } \right)^{2k + 1} }}\left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{k}} \right)} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{\pi e^{ - 1} }}\left( {\frac{k}{{\pi e}}} \right)^{2k + 1} \sqrt {\frac{\pi }{k}} \left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{k}} \right)} \right) $$ y $$ \gamma _{2k} = \frac{{\left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{6}\frac{{\Gamma (2k - 1)}}{{\left( {2\pi } \right)^{2k} }}\left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{k}} \right)} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{12}}\left( {\frac{k}{{\pi e}}} \right)^{2k} \sqrt {\frac{\pi }{{k^3 }}} \left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{k}} \right)} \right) $$ como $k\to +\infty$ . Por lo tanto, $f(n) \approx 2\pi n$ para grandes $n$ .