¿Puede una función normalizable *siempre* descomponerse en el espectro discreto del hidrógeno?

Question

Hace tiempo que me preocupa esta cuestión: ¿se puede reconstruir una función arbitraria (normalizable) $\phi(\mathbf r)$ en $\mathbb R^3$ con sólo el ( discreto ) de las funciones de onda del hidrógeno (o, por ejemplo, las funciones propias del oscilador armónico tridimensional), ¿o hay que incluir también los estados libres? Hay muchas fuentes (Griffiths, otros) que sugieren que éstas son una base "completa", a partir de la cual podemos construir cualquier función no patológica.

Sin embargo, si son completos, ¿cómo pueden ser ortogonales a los estados libres? Voy a señalar que hay preguntas muy similares en otros lugares en Física SE, aquí y aquí Uno pregunta si los estados continuos deben incluirse en la expansión perturbativa (¡aunque casi siempre se omiten!), otro sugiere que los estados libres son un "complemento ortogonal" (en algún lugar de los comentarios), pero no parece haber consenso. Se agradecería una aclaración.

Answer 1

En respuesta a la pregunta del título: no, usted no puede siempre descomponer un $L_2$ función en términos de sólo la envolvente del espectro de hidrógeno.

Esto es porque no son ortogonales de funciones para todos los enlazados a los estados, que, naturalmente, representan los estados libres de la electrónica. La más rápida de los ejemplos, por supuesto, la de Coulomb-onda funciones propias $|\chi_{E,l,m}⟩$ del espectro continuo de hidrógeno, y estos no son normalizable, pero usted puede tomar combinaciones de la forma

$$|\psi⟩=\sum_{l,m}\int f_{lm}(E)|\chi_{E,l,m}⟩\mathrm dE$$

que hacer caer en $L_2$. Esto se aclara más en esta respuesta por Arnold Neumaier y en esta pregunta; una respuesta anterior a esta pregunta indica que el continuo de Coulomb ondas no son formalmente parte del espacio de Hilbert, pero eso no significa que sus informal "span" no lo es. Para obtener más información acerca de estas cosas, me gusta bastante L. D. Faddeev y O. A. Yakubovskii de Conferencias sobre la mecánica cuántica para alumnos de matemática y L. A. Takhtajan de la mecánica Cuántica para los Matemáticos (con un sombrero de punta a Anatoly Kochubei aquí para las referencias).

Si quieres un ejemplo concreto de algo que se sientan fuera de la extensión de la envolvente del espectro, simplemente tomar una gaussiana wavepacket va suficientemente rápido, $$ \psi(\mathbf r)=\left(\frac{2\pi}{\sigma^2}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\mathbf r^2}{2\sigma^2}+ikz\right), $$ proyecto de la envolvente de componentes de estado, y normalizar - a partir de las consideraciones físicas, que debe ser a la izquierda con un resto distinto de cero.

Answer 2

Si se integra la colección de estados continuos del átomo de hidrógeno, ponderados por una función suave, sobre un conjunto abierto y acotado en el espacio de parámetros en términos de los cuales se parametriza este conjunto, se obtiene un estado normalizable ortogonal a todos los estados energéticos discretos.