Secuencia exacta corta, toro y un grupo finito

Question

Tengo una pregunta sobre la secuencia exacta corta.

Notación:$\mathbb{T}= S^1$.

Sea $F$un grupo abeliano finito, y sea $G$un grupo abeliano compacto, y supongamos que tenemos una secuencia exacta corta$$1\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow \mathbb{T}\rightarrow 1$$ Is this sequence necessarily splits? If not is there anything we can say about $ G $, es una Mentira ¿grupo?

¡Gracias!

Answer 1

Creo que podemos decir que$G$ es un grupo de Lie. La acción de traducción de$F$ en$G$ es gratuita, y como$F$ es finita, es correctamente discontinua. Por lo tanto, el mapa de cociente$G \to \mathbb{T}$ es un mapa de cobertura, por lo que puede levantar la estructura lisa hasta$G$.

Answer 2

La secuencia no está claramente dividida en general. Identifique$S^1$ con los números complejos de la norma$1$, y considere$$1 \longrightarrow \mu_n \longrightarrow S^1 \stackrel{f_n}{\longrightarrow} S^1 \longrightarrow 1,$ $ donde$f_n(z)=z^n$ y$\mu_n$ es el grupo cíclico de$n^{\mathrm{th}}$ raíces de unidad.