Mostrar que $\frac{1}{\sqrt{r_3}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}$ durante tres mutuamente círculos tangentes, cada tangente a una línea común

Question

Tres círculos son tangentes a la línea de $AB$. Ser $r_1$ el radio de la más grande, $r_2$ el radio de la media y $r_3$ la radio de los más pequeños. Mostrar que $$\dfrac{1}{\sqrt{r_3}}=\dfrac{1}{\sqrt{r_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{r_2}}.$$

Sugerencia:muestre que $AB = 2\sqrt{r_1r_2}$.

Sé que tengo que usar el del Teorema de Pitagora.

Answer 1

Deje $A$ $B$ puntos de tangencia a la mayor círculo y el círculo medio, respectivamente.

También, vamos a $O_1$, $O_2$ y $O_3$ ser centros de círculos con radio $r_1$, $r_2$ y $r_3$ respectivamente

y deje $O_3K$ $O_3M$ ser perpendiculares de $O_3$ $O_1A$ $O_2B$respectivamente.

Así, $O_1K=r_1-r_3$, $O_1O_3=r_1+r_3$ y por la del teorema de Pitágoras obtenemos: $$O_3K=\sqrt{(r_1+r_3)^2-(r_1+r_3)^2}=2\sqrt{r_1r_3}.$$ Del mismo modo $$O_3M=2\sqrt{r_2r_3}$$ y $$AB=2\sqrt{r_1r_2}$$ and since $AB=O_3K+O_3M$, obtenemos: $$2\sqrt{r_1r_2}=2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}$$ o $$\frac{1}{\sqrt{r_3}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}.$$ Hecho!

Answer 2

Deje $C$ ser el punto de tangencia del círculo medio. Si usted puede mostrar que $AB = 2\sqrt{r_1r_3},$, a continuación, del mismo modo se puede demostrar que los $AC = 2\sqrt{r_1r_2}$ $CB = 2\sqrt{r_2r_3}$ y utilice el hecho de que $AB = AC+CB.$ Su resultado se sigue inmediatamente.

En cuanto a la manera de probar la sugerencia, mira el trapecio $ABSL$ donde $S$ $L$ son los centros de los pequeños y los grandes círculos, respectivamente.