Los pares ordenados de enteros positivos $2^{2x} - y^2 = 60$

Question

Cuántos pares ordenados de enteros positivos hay que satisfacer $2^{2x} - y^2 = 60$?

Esto puede ser reescrita como $(2^x)^2-y^2 = 60$ y, a continuación,$(2^x+y)(2^x-y) = 60$. Entonces a partir de la $2^x$ siempre es positivo y por lo $2^x+y$ $2^x-y$ son positivos y que el primero es siempre más grande que el segundo. Esto significa que sólo tiene en cuenta los factores positivos de $60$, y así tuve los siguientes pares de $(60,1), (30,2), (20,3), (15,4), (12,5)$, y he conectado con ellos y resolver los sistemas. De los 5 casos posibles, sólo $(30,2)$ trabajaba y producía $x=4, y=14$.

Estoy en lo cierto en que lo ha hecho? Ellos no tienen una respuesta, y cuando traté de gráfico de esto, no se exactamente que funciona bien (yo no obtener un valor entero para $x$).

Answer 1

Ustedes estaban tan cerca. La última pareja es $(10,6)$. Eso significa que $2^x=8$ o $x=3$ $y=2$

Answer 2

No no son correctas.
Han negado el caso de $\{ 2^x-y, 2^x+y \} = \{ 6, 10 \}$ ; que le da $(x,y)=(3,2)$.

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Observe que:

• $(2^x+y)$ $(2^x-y)$ tienen el mismo pairity;

• producto de $(2^x+y)$ $(2^x-y)$ es incluso; de modo que al menos uno de ellos es incluso;

• por los dos anteriores comentarios se deduce que tanto de $(2^x+y)$ $(2^x-y)$ son incluso.

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• Por lo que podemos escribir la ecuación como $\dfrac{2^x+y}{2} \cdot \dfrac{2^x-y}{2} = 15$ ;

• la única possibilitis para $\{ \dfrac{2^x-y}{2}, \dfrac{2^x+y}{2} \}$ es$\{ 1, 15 \} $$\{ 3, 15 \} $ .

• Por lo que podemos conlude que:
  la única possibilitis para $\{ \ 2^x-y, \ 2^x+y \ \} $ es$\{ 2, 30 \} $$\{ 6, 10 \} $ .
  La primera posibilidad da $(x,y)=(4,14)$ y el segundo da $(x,y)=(3,2)$ .

Answer 3

Cosas básicas a tener en cuenta sobre $(2^x + y)(2^x - y) = ab = 60; a = 2^x + y; b=2^x-y)$.

1) $2^x + y > 0$$2^x - y > 0$.

2) $a= 2^x + y > 2^x -y=b > 0$$a > \sqrt{60} > 7$$b < \sqrt{60} < 8$.

3) $a$ $b$ no pueden ambos ser extraño por lo tanto que ambos son incluso.

Por lo $b = 2,\color{red}4,6$ $a=30,\color{red}{15},10$

4) $a+b = 2^{x+1} = 32, 16$$x=4,3$$y = \frac {a-b}2 = 14, 2$.

Así que las dos soluciones posibles se $(x,y)=(4,14): (2^4+14)(2^4 -14)=30*2=60$$(x,y)=(3,2): (2^3+2)(2^3-2)=10*6=60$.

Answer 4

$$(x,y) \in \lbrace(4,14),(3,2),(4,-14),(3,-2)\rbrace$$

De hecho, es una diferencia de dos cuadrados:

$$2^{2x}-y^2=60$$ $$\text{let} \ \ \ \ t=2^x \ \ \implies $$ $$t^2-y^2= 60$$

Ahora usted puede o no puede saber que tales ecuaciones siempre puede ser visto de la siguiente forma en los términos de los divisores, a través de la identidad: $$\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)^2-\left(\frac{d_1-d_2}{2}\right)^2=d_1\cdot d_2$$

El único inconveniente es que los pares de los divisores que usted elija necesitan ser de la misma pairity, para permitir que su suma o diferencia es divisible por dos. Moving on, tenemos:

$$t=\frac{d_1+d_2}{2} \ \ \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \ \ \ y= \frac{d_1-d_2}{2}$$

Los siguientes pueden ser útiles para usted:

El número total de divisores de un natural dado N será:

$$\text{if} \ \ \ \ N=\prod_{i=1}^M p_i^{\alpha_i} \ \ \ \ \text{for finitely large M, and the i-th prime p}$$

$$\text{then} \ \ \ \ \left| \lbrace \text{set of divisors of N} \rbrace\right|=\prod_{i=1}^M (\alpha_i +1)$$

Para 105: $$105=3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$$ Por lo tanto, hay $(1+1)(1+1)(1+1)=8$ divisores.

Para $4116=2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^3$, no sería $(2+1)(1+1)(0+1)(3+1)=24$ divisores.

Así que, para cualquier número de factor completamente, y multiplicar las potencias incrementa de uno en uno para obtener la cantidad de divisores de un número.

Ahora podemos observar que $$60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$$ $$(2+1)(1+1)(1+1)=12$$

Así que los divisores de 60 debe incluir los 12 números, a partir del 1 no es difícil encontrar que son:

$$\lbrace 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \rbrace$$ Y que el conjunto de divisor de pares, con cada divisor de la misma paridad es un conjunto de miembros, así:

$$(d_1,d_2)\in \lbrace(30,2),(10,6)\rbrace$$

Así

$$t=2^x=\frac{30+2}{2} \ \ \ \lor \ \ \ \frac{10+6}{2}$$ $$\text{so} \ \ \ \ t=16 \ \ \ \ \lor \ \ \ 8 \ \ \ \implies x=4 \ \ \ \lor \ \ \ 3$$ Mientras $$y=\frac{30-2}{2}\ \ \ \lor \ \ \ \frac{10-6}{2} \implies y=14 \ \ \lor \ \ \ 2$$

Las respuestas son, a continuación, $$(x,y)=(4,14) \lor (3,2)$$ Pero podemos ver que podemos y vamos a ser positivos o negativos, y no así para x, de dar nuestra respuesta anterior, de 4 pares ordenados