¿Cuántas soluciones enteras positivas hay para la ecuación $^2 + 2^2 = 4^2$?

Question

¿Cuántas soluciones de enteros positivos existen para la ecuación $^2 + 2^2 = 4^2$?

Me di cuenta de que esto se parece mucho al teorema de Pitágoras, también podría escribirse como $^2 + (\sqrt{2}y)^2 = (2z)^2$. ¿Entonces no habría un número infinito de soluciones que son enteros positivos? Por alguna razón no tienen la respuesta a esta, así que solo quería asegurarme de que entendí correctamente.

Answer 1

Observe $x^2$ divisible by $2$, thus $x$ is divisible by $2$. Write

$$ \begin{align*} x = 2n &\implies 4n^2 + 2y^2 = 4z^2 \\ &\implies y^2+2n^2=2z^2 \\ &\implies y = 2m \\ &\implies 4m^2+2n^2=2z^2 \\ &\implies n^2+2m^2=z^2 \\ &\implies n = k(a^2-2b^2), \end{align*}$$

where $m = 2kab, z = k(a^2+2b^2), a,b,k \in \mathbb{Z}^{+}$ (see a solution of this equation by member Ivan Loh also at MSE in 2013 post). So $x = 2n = 2k(a^2-2b^2), y = 2m = 4kab, z = k(a^2+2b^2)$. Espero que esto ayude.

Answer 2

Pista:

Escribe

$$(2z-x)(2z+x)=2y^2$$ y discute cómo esta identidad puede descomponerse en factores enteros.

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Alternativamente:

Reescribe la ecuación módulo $2$ y módulo $4$.

Answer 3

$ x^2+2y^2=4z^2 \implies (kx)^2 + 2(ky)^2 = 4(kz)^2 $, por lo tanto, si existe al menos una solución, existen infinitas soluciones.

$ 2^2+2\cdot4^2=4\cdot3^2$, por lo tanto, al menos una solución existe, por lo tanto, existen infinitas soluciones.

Answer 4

Si nada más, puedes tomar enteros positivos $v < u \sqrt 2$

con $$ x = 4 u^2 - 2 v^2, \; \; y = 4 u v, \; \; z = 2 u^2 + v^2 $$

Lo revisaré más cuidadosamente en un minuto, pero si $v$ es impar y $\gcd(u,v) = 1,$ debería ser cierto que $\gcd(x,y,z) = 1$ también.