Encuentra la fórmula cerrada cambiando el orden de la suma: $\sum_{i=1}^ni3^i$

Question

Estoy trabajando en una tarea para una clase de probabilidad y computación, pero mi habilidad para trabajar con sumas está oxidada, por decir lo menos, así que sospecho que esto va a resultar bastante sencillo.

El problema pide encontrar una fórmula cerrada para $$\sum_{i=1}^ni3^i$$ representándolo como una suma doble y cambiando el orden de la suma. Lo hice siguiendo una pista del instructor y llegué a $$\sum_{k=1}^n\sum_{i=k}^n3^i,$$ pero no estoy muy seguro de lo que ha conseguido. ¿Cuál es el siguiente paso? ¿Qué busco aquí?

Answer 1

Aquí hay una elaboración bastante detallada que puede ser útil.

Obtenemos \begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {i=1}^ni3^i}&= \sum_ {i=1}^n \left ( \sum_ {k=1}^i 1 \right )3^i \tag {1} \\ &= \sum_ {i=1}^n \sum_ {k=1}^i 3^i = \sum_ {1 \leq k \leq i \leq n}3^i = \sum_ {k=1}^n \sum_ {i=k}^n3^i \tag {2} \\ &= \sum_ {k=1}^n \sum_ {i=0}^{n-k}3^{i+k} \tag {3} \\ &= \sum_ {k=1}^n3^k \cdot\frac {3^{n-k+1}-1}{3-1} \tag {4} \\ &= \frac {1}{2} \sum_ {k=1}^n \left (3^{n+1}-3^k \right ) \tag {5} \\ &= \frac {n}{2}3^{n+1}- \frac {1}{2} \sum_ {k=1}^n3^k \tag {6} \\ &= \frac {n}{2}3^{n+1}- \frac {1}{2} \cdot\left ( \frac {3^{n+1}-1}{3-1}-1 \right ) \tag {7} \\ &= \frac {n}{2}3^{n+1}- \frac {1}{4}3^{n+1}+ \frac {3}{4} \tag {8} \\ & \color {azul}{= \frac {n}{4}(2n-1)3^{n+1}+ \frac {3}{4}} \tag {9} \end {align*}

Comentario:

• En (1) representamos el factor $i$ como suma.

• En (2) multiplicamos en la suma de la izquierda y escribimos el rango de índices de forma algo más cómoda en la suma del medio. Intercambiamos las sumas en la suma doble de la derecha.

• En (3) desplazamos el índice de la suma interna para que comience en $i=0$ .

• En (4) aplicamos la _suma geométrica finita_ fórmula.

• En (5) hacemos algunas simplificaciones.

• En (6) multiplicamos y hacemos algunas simplificaciones.

• En (7) aplicamos la suma geométrica finita fórmula de nuevo.

• En (8) y (9) hacemos algunas simplificaciones más.

Answer 2

Sólo hay que utilizar la suma de las series geométricas.

Es $$\sum_{i=1}^n\frac{3^k(3^{n-k+1}-1)}{3-1}=\frac{n3^{n+1}}{2}-\frac{1}{2}\frac{3(3^n-1)}{2}=\frac{2n3^{n+1}-3^{n+1}+3}{4}.$$

Answer 3

Porque la otra respuesta ya habla de la informática $\sum_{k=1}^n \sum_{i=k}^n 3^i$ Aquí hay otra forma de calcular $\sum_{i=1}^n i3^i$

\begin {eqnarray} S & = & \sum_ {i=1}^n i 3^i \\ & = & 1.3^1 + 2.3^2 + 3.3^3 + \cdots + n.3^n \\ 3S & = & \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 1.3^2 + 2.3^3 + \cdots + (n-1).3^n + n.3^{n+1} \\ \end {eqnarray}

Por lo tanto, al restar, obtenemos $$S - 3S = (3^1 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n) - n.3^{n+1}$$ $$\implies -2S = 3\left(\frac{3^n-1}{2}\right) - n.3^{n+1} = \frac{(1-2n)3^{n+1}-3}{2}$$ $$\implies S = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}$$

Answer 4

La suma interna es una serie geométrica. Se puede expandir de la siguiente manera:

$$\sum_{k=1}^n\sum_{i=k}^n3^i=\sum_{k=1}^n(\sum_{i=k}^n3^i)=\sum_{k=1}^n\frac{3^k-3^{n+1}}{1-3}=\sum_{k=1}^n\frac{3^{n+1}-3^k}{2}=\frac{n3^{n+1}}2-\frac12\sum_{k=1}^n3^k$$

El resto debería ser bastante sencillo.