Es la unión de una cadena de topologías de una topología?

Question

Vamos a considerar los siguientes criterios de inclusión de la cadena de topologías en el espacio $X$: $\tau_1\subset\tau_2\subset\cdots\subset\tau_n\subset\cdots$. Deje $\tau=\bigcup_{n=1}^\infty \tau_n$. Es $\tau$ una topología?

Obviamente , la intersección de dos conjuntos de $\tau$ pertenece a $\tau$. Sin embargo, no está claro si $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\tau$ donde $A_n\in\tau_n$. Creo que, en general, $\tau$ no es una topología pero no puede encontrar un contraejemplo.

Answer 1

De hecho, no es; el truco es poner nuevos bloques abiertos en cada una de las $A_n$, de modo que usted puede tomar la unión de uno de cada $A_i$ que no está en ninguna. Por ejemplo, tome $X = \mathbb R$, y deje $\tau_n$ consta de $\mathbb R$ sí, junto con todos los conjuntos que están abiertos en la topología Euclidiana y que están dentro del intervalo de $(-n, n)$. A continuación, para cada una de las $k \in \mathbb N$, el conjunto abierto $(k, k + 1)$ es en algunos $\tau_i$, sin embargo, $$ \bigcup_{k \in \mathbb N} (k, k+1) = \mathbb R_{>0} \setminus \mathbb N $$ no se encuentran en cualquier $\tau_n$.

Answer 2

En un espíritu similar a Mees de Vries respuesta, vamos a $\tau$ ser el estándar de la topología en los números racionales $\mathbb{Q} = \{q_1,q_2,q_3,\ldots\}$. Definir $\tau_n$ a ser el más áspero de la topología de la refinación $\tau$ en el que cada uno de los puntos de $q_1,\ldots,q_n$ está abierto. Si desea una forma a la imagen de esta topología geométrica, tenga en cuenta que el mapa de $f_n : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}^2$ da como $$f_n(x) = \begin{cases} (x,0) & \text{ if } x \notin \{q_1,\ldots,q_n\} \\ (x,1) & \text{ if } x \in \{q_1,\ldots,q_n\} \\ \end{casos}$$ es homeomorphism de $(\mathbb{Q},\tau_n)$ a $f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{R}^2$.

Si $\bigcup_{n=1} \tau_n$ fue una topología en $\mathbb{Q}$, tendría que ser la topología discreta. Pero este no es el caso porque, por ejemplo, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ no pertenece a ninguna de las topologías $\tau_n$.

Answer 3

Por lo general no. Deje $X=\mathbb N$ $\tau_n=\{\phi, X, \{n\}\}.$ $\cup \{\tau_n:n\in \mathbb N\}=\{\phi, X\}\cup \{\{n\} :n\in \mathbb N\}$ no es una topología porque contiene $\{1\}$ $\{2\}$ pero no contiene $\{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}.$

Incluso si $\tau_n\subset \tau_{n+1}$ todos los $n,$ esto puede fallar.

Ejemplo:supongamos $X=\mathbb N.$ $n\in \mathbb N,$ permitir que los miembros de $\tau_n$ otros de $X$ todos los subconjuntos de a $\{m\in \mathbb N:m\leq n\}.$ a Los miembros de $T=\cup \{\tau_n: n\in \mathbb N\},$ otros de $X,$ son todos los subconjuntos finitos de $X,$ $T$ no es una topología. $T$ contiene $\{n\}$ por cada $n\in X,$ así que si $T$ $were$ una topología, a continuación, cada subconjunto de $X$ pertenecen a $T.$ Pero $X\supset \{2n:n\in \mathbb N\}\not \in T.$

Answer 4

Por lo general no. Deje $X=\mathbb N$ $\tau_n=\{\phi, X, \{n\}\}.$ $\cup_{n\in \mathbb N}=\{\phi, X\}\cup \{\{n\} :n\in \mathbb N\}$ no es una topología porque contiene $\{1\}$ $\{2\}$ pero no contiene $\{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}.$

Incluso si $\tau_n\subset \tau_{n+1}$ todos los $n,$ esto puede fallar.

Ejemplo:supongamos $X=\mathbb N.$ $n\in \mathbb N,$ permitir que los miembros de $\tau_n$ otros de $X$ todos los subconjuntos de a $\{m\in \mathbb N:m\leq n\}.$ a Los miembros de $T=\cup_{n\in \mathbb N}\tau_n,$ otros de $X,$ son todos los subconjuntos finitos de $X,$ $T$ no es una topología. $T$ contiene $\{n\}$ por cada $n\in X,$ así que si $T$ $were$ una topología, a continuación, cada subconjunto de $X$ pertenecen a $T.$ Pero $X\supset \{2n:n\in \mathbb N\}\not \in T.$