Pruebalo $\left|\begin{smallmatrix}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{smallmatrix}\right|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2.$

Question

Que $a, b, c, d \in \mathbb K$ $\mathbb K$ Dónde está un campo. Demostrar que

$\det\begin{bmatrix} a & -b & -c & -d\\ b & a & -d & c\\ c & d & a & -b\\ d & -c & b & a \end{bmatrix} = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) ^ 2$ $

Estoy buscando una manera inteligente para solucionar este problema. Si denotan

$$A =\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix} $$

y

$$B =\begin{bmatrix} -c & -d \\ -d & c \\ \end{bmatrix} $$

tenemos que {bmatrix} de $$\begin{bmatrix} a & -b & -c & -d\\ b & a & -d & c\\ c & d & a & -b\\ d & -c & b & a \end= \begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix} $$ por lo que es suficiente prueba de que

$ \det\begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix} = (\det A - \det B) ^ 2. $$

¿Ayuda?

Answer 1

Calcular el $$ P P^T $$, a continuación, pensar.

O $$ P^T P $$

Answer 2

Generalmente， si $B$ es simétrica tal que $A^TB=BA$, luego $$ \det \begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix} = \det (AA^T +BB^T). $$ De hecho $$ \begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^T & -B^T \\ B^T & A^T \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AA^T+BB^T & -AB^T+BA^T \\ -BA^T+AB^T & AA^T+BB^T \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} AA^T+BB^T & 0 \\ 0 & AA^T+BB^T \\ \end{bmatrix} $$ y por lo tanto $$ \det\begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix}=\sqrt{\det\begin{bmatrix} AA^T+BB^T & 0 \\ 0 & AA^T+BB^T \\ \end{bmatrix}}=\det(AA^T+BB^T).$$