Estoy todavía se enseña matemáticas en el colegio, así que todos estos símbolos de lujo como $\sum$ I no tiene ninguna idea sobre (aunque se escriben a través de mathjax, creo que posiblemente significa la "suma" de algo), pero creo que han hecho tres posibles descubrimientos de siempre encontrar un número primo:
$1. \qquad (2n + 1)^2 - 2 = p$
$2. \qquad n^3 - (n - 1)^3 = p$
$3. \qquad \text{The first number after $(2n)^2$ to have the number $7$ as its last digit is always prime.}$
No sé si estos son los hechos, pero no sé cómo probar si alguna de estas son verdaderas o falsas.
Mi Intento:
$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab \tag1$$ $$\implies (2n + 1)^2 = (2n)^2 + 1^2 + 2\times 2n\times 1 = 4n^2 + 4n + 1$$ $$\implies (2n + 1)^2 - 2 = 4n^2 + 4n + 1 - 2 = 4n^2 + 4n - 1= p$$ $$\implies 4n^2 + 4n - 1 - p = 4n^2 + 4n - (1 + p) = 0$$ $$\therefore n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16(1 + p)}}{8}$$ Aquí es donde me quedo atascado debido a que cualquier primer número debe ser mayor que $1$, lo que implica que vamos a ser la plaza de las raíces de un número negativo en el numerador de la fracción anterior. Haciendo un poco de investigación, la raíz cuadrada de un número negativo no es "real" así que ¿cómo puede haber soluciones reales para $n$ tal que $(2n + 1)^2 - 2 = p?$ $(2\times3 + 1)^2 - 2 = 47$ que es un número primo. No puedo ver si estoy haciendo algo mal aquí. Es esta una contradicción de algún tipo?
$$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b) = \cdots = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\tag2$$ $$\implies (n - 1)^3 = n^3 - 3\times n^2\times1 + 3\times n\times1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$$ $$\implies n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 = 3n^2 - 3n + 1 = p$$ $$\implies 3n^2 - 3n + (1 - p) = 0$$ $$\therefore n = \frac{3 \pm \sqrt {9 - 12(1 - p)}}{6}$$
Desde $(1 - p) < 0$, entonces esto implica que $12(1 - p) < 0$, por lo que estaremos en la plaza de las raíces de un positivo número en el numerador de la fracción anterior porque: $$\forall (x, y) \in \mathbb{Z}, \ x - (-y) = x + y > 0 : x = 9\land 12\mid y$$ Pero estoy seguro de que he completado este problema correctamente debido a que utiliza los mismos pasos de trabajo en comparación con los $(1)$, sin embargo no puedo encontrar un problema aquí. Por ejemplo: $$(\pm 3)^3 - 2^3 = 19 \qquad \text{ and } \qquad \pm 3 = \frac{3 \pm \sqrt {9 - 12(1 - 19)}}{6}$$
Pero como para $(3)$, no sé por dónde empezar. Podría alguien por favor me ayude y me muestran paso a paso cómo probar cualquiera de estas afirmaciones verdaderas o falsas? Usted no tiene que probar todos los tres enunciados verdaderos o falsos, pero si desea hacerlo, sería muy apreciado. He intentado solucionar $n$ a través de la fórmula cuadrática, y completando el cuadrado solo me dio una versión simplificada de la fracción de $n$ y nada más. Si usted está dispuesto a utilizar otras técnicas matemáticas de resolución de $n$, por favor, ser claro y trate de no omitir muchos pasos en el proceso. Gracias de antemano.
Edit: puedo decir, esta fue mi primera pregunta en la BMV y dijo "claro" y "específicos" y cosas por el estilo, así que traté de hacer esta pregunta tan comprensible como sea posible, y mi primera pregunta, tengo +9 que es INCREÍBLE! Muchas gracias a todos ustedes por ayudarme con esto. Sus respuestas y las explicaciones son muy claras y me ayudó a tener una mayor comprensión de estos problemas, y ahora puedo usar otros métodos de resolución de problemas como estos (o quizá, simplemente, de ensayo y error). Me encanta esta comunidad, aun si algunas preguntas de matemáticas están más allá de mis años! Una vez más, muchas gracias! :)
