Esto puede parecer algo extraño, pero no creo que sea útil pensar en las líneas como si estuvieran hechas de puntos: la "línea" de una línea es una propiedad inherente que los puntos no tienen, por lo que tiene algunas cualidades adicionales que los puntos no tienen, como la longitud.
Los números reales son básicamente la respuesta a la pregunta "¿Cómo puedo aumentar el conjunto de números racionales para no tener que preocuparme de si los límites que deberían existir realmente existen?", a partir de la cual se puede entonces hacer el cálculo. Uno puede sacar $ \sqrt {2}$ , $ \pi $ y así sucesivamente si uno lo desea como un ejemplo obvio de un punto en el que se necesita esto.
Tal vez una introducción más útil de los números reales es decir "Quiero saber cuán lejos estoy en esta línea". Luego dices "¿Estoy a mitad de camino?" "¿Estoy a un cuarto del camino?" "¿Estoy a 3/8 del camino?", y así sucesivamente. Esto te da una forma de producir expansiones binarias usando intervalos cerrados, y puedes entonces introducir la idea de hacer infinitamente muchas de estas preguntas (que obviamente serán necesarias, ya que $1/3$ tiene una expansión binaria infinita), y el objeto en el que la intersección infinita de la familia decreciente de intervalos cerrados con puntos finales racionales construidos al responder la secuencia de preguntas contiene precisamente un punto se llama los números reales. Por lo tanto, uno termina con los números reales como descripción de lugares en la línea, mientras que no es la línea en sí misma.
De hecho, la construcción de los números reales también te da algo de "linaje" como equipaje de la construcción: produces un topología que te dice sobre las ubicaciones que están cerca una de la otra. Esto le da a los números reales más "sustancia" que el simple hecho de estar ordenados y contener los racionales. Uno puede definir topologías en los racionales, pero la clave está en que los números reales estén completos en su construcción topológica. La integridad obliga a que haya "demasiados" números reales para ser cubiertos por conjuntos arbitrariamente pequeños. (Obviamente lo contable es demasiado pequeño ya que los racionales no funcionan, pero el conjunto de Cantor muestra que se pueden producir conjuntos incontables con "longitud" cero).
Un gran agujero en esto hasta ahora es lo que es realmente la "longitud". Para hacer las cosas de esta manera, uno se ve obligado a introducir una definición de la longitud de un intervalo racional $[p,q]$ que, por supuesto, debe ser $q-p$ . Puesto que en ese momento no nos preocupa que el intervalo esté realmente "lleno" de puntos, podemos simplemente introducir esto como un axioma de la teoría: todos nosotros en algún momento hemos poseído una regla y sabemos cómo funcionan con los números enteros y las fracciones pequeñas, y no es demasiado complicado estipular que se puede tener una regla con una subdivisión racional tan pequeña como sea necesario, sin tener que recurrir a la subdivisión infinita. (Lo cual es otro punto que vale la pena enfatizar: sin procesos infinitos, no hay necesidad de que los números reales in toto : uno puede simplemente introducir "suficientes" racionales para la precisión que uno requiere, y trabajar el módulo esta "longitud más pequeña".)
De esta manera, se empieza con "longitud" y se termina con "números reales", en lugar de tratar de ir por el otro lado, lo cual es teóricamente difícil y mentalmente agotador y contrario a la intuición (además de todas las cosas cantorianas).
