La matemática discreta, la divisibilidad

Question

¿Cómo puedo demostrar que para todos los $n\in\mathbf{N}$ que $6 | n^5 + 5n$?

He probado de $n = 2$ y consiguió $6 | 32 + 10 = 42$.

Answer 1

$$n^5+5n=6n+(n-1)n(n+1)(n^2+1)$$

Ahora $6=3!$ divide el producto de tres enteros consecutivos(por qué?)

Answer 2

1) Muestran que $2|n^5+5n$.

2) Muestran que el $3|n^5 + 5n$.

Si podemos mostrar que ambos, por separado, tiene que seguir ese $6=2*3|n^5 + 5n$.

1)$n^5 + 5n = n(n^4+5)$. Si $n$ es, aun así, es $n(n^4+5)$. Si $n$ es impar, a continuación, $n^5$ es impar y $n^5 + 5$ es incluso y $n(n^4+5)$ es incluso.

Por lo $n^5 + 5n$ es incluso.

2) $n = 3m + i$ algunos $m$ $i = 1, 0, $ o $-1$.

a) $i = 0; n = 3m$$3|n$$3|n(n^4 + 5)$.

b) $i = \pm 1$

$n^4 + 5$ = $(3m \pm 1)^4 + 5$

$ = (3^4m^4 \pm 4*3^3m^3 + 6*3^2m^2 \pm 4*3m + 1) + 5$

$= 3^4m^4 \pm 4*3^3m^3 + 6*3^2m^2 \pm 4*3m + 6$

$= 3(3^3m^4 \pm 4*3^3m^3 + 6*3m^2 \pm 4*m + 2)$

Por lo $3|n^4 + 5$$3|n^5 + 5n$.

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Por lo tanto $2|n^5+5n$$3|n^5 + 5n$$6|n^5+5n$.

Answer 3

Trabajo modulo 6:

$$\begin{align*} \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 0,\\ \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 1+5=6\equiv0,\\ \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 32+10\equiv2+4\equiv0,\\ \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 3+3\equiv0,\\ \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 4+2\equiv0,\\ \text{if %#%#%,}&\qquad n^5+5n\equiv 5+1\equiv0.\\ \end{align*} $$

Por lo $n \equiv 0 \mod 6$ es siempre un múltiplo de 6.

Answer 4

El uso de la aritmética modular y resolver para el número limitado de casos $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5 \pmod{6}$.

Por ejemplo, $4 \cdot 4 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$, por lo que el $4^5 \equiv 4 \pmod{6}$, e $n^5 + 5n \equiv 4 + 20 \pmod{6} \equiv 24 \pmod{6} \equiv 0 \pmod{6}$.

Los otros cinco casos son similares.