1/1000 posibilidad de una reacción. Si realizas la acción 1000 veces, ¿cuál es la nueva posibilidad de que ocurra la reacción?

Question

Un ejemplo hipotético:

Tienes una probabilidad de 1/1000 de ser atropellado por un autobús al cruzar la calle. Sin embargo, si realizas la acción de cruzar la calle 1000 veces, entonces tu probabilidad de ser atropellado por un autobús aumenta a aproximadamente 60% porque cada vez que realizas la acción, la probabilidad de que vuelva a ocurrir aumenta.

¿Cuál es la matemática detrás de esto para respaldarlo? Solo por curiosidad.

Answer 1

\begin{align} P(\text{ser atropellado por un autobús en 1000 cruces}) & = 1-P(\text{no ser atropellado por un autobús en 1000 cruces}) \\ & = 1-(999/1000)^{1000} \\ & \approx 0.63 \end{align}

Answer 2

Puedes aproximar esto muy bien usando una distribución de Poisson: Si en un gran número $N$ de ensayos un evento ocurre un promedio de $\lambda \ll N$ veces, la probabilidad de que ocurra $k$ veces en un conjunto de $N$ ensayos es $$P(k) \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.$$

En nuestro caso, en $1000$ ensayos esperamos que nuestro evento con una probabilidad por ensayo de $1/1000$ ocurra en promedio 1 vez, entonces $$P(k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}.$$ En particular, la probabilidad de que el evento ocurra al menos una vez es $$1 - P(0) \approx 1 - \frac{1}{e} = 0.63212\ldots$$ lo cual es muy cercano al valor real de $$1 - P(0) = 1 - \left(\frac{999}{1000}\right)^{1000} = 0.63230\ldots$$ como E W H Lee lo menciona en su buena respuesta.

Este método muestra dos hechos adicionales interesantes:

• La probabilidad aproximada $1 - \frac{1}{e}$ es en realidad universal, y no particular al caso $N = 1000$ (de hecho, esta cantidad es el límite de la probabilidad cuando $N \to +\infty$).
• En más de $N \gg 1$ ensayos, la probabilidad de que un evento con una probabilidad por evento $1/N$ no ocurra es muy cercana a la probabilidad de que ocurra exactamente una vez: ambas probabilidades son $\approx \frac{1}{e}$.

Answer 3

Llamando $p$ a la probabilidad de ser golpeado en un cruce y $q=1-p$ la probabilidad de estar a salvo en un cruce, puedes calcular $p_{1000}$ (la probabilidad de ser golpeado al menos una vez en $1000$ cruces) de esta manera:

$$p_{1000} = p + qp + qqp +...+q^{999}p$$

Esto significa: te golpean en el primer intento, o escapas en el primero y te golpean en el segundo, o escapas en el primero y en el segundo y te golpean en el tercero...

Ahora podemos resolver la serie geométrica: $$p_{1000} = p \sum_{n=0}^{999} q^n = p \frac{1-q^{1000}}{1-q} = p \frac{1-q^{1000}}{p} =1-q^{1000} \approx 0.63$$

Answer 4

Para este tipo de preguntas, con cada intento, tu oportunidad de ganar aumenta. La oportunidad nunca es del 100% (que yo sepa), pero generalmente, podrías escribir la probabilidad como: 1-((1–1/x)^n) Donde x es tu denominador (de cuánto es tu oportunidad, es decir 1/1000) y n es el número de intentos. Así que para tu ejemplo, sería 1-((1–1/1000)^1000) lo que equivale a 1-(0.999^1000), lo que resulta ser aproximadamente 0.63230457, o 63.230457% Hay mucha confusión sobre este tema, ya que de manera intuitiva, pensarías que si las probabilidades son de 1/1000 jugar 1000 veces garantizaría una victoria. A mí me enseñaron este método, y siempre ha funcionado para mis propósitos.

P.D. Resulta que la lotería es aún peor de lo que pensabas.