Producto de dos series para obtener una serie de descomposición de zeta en la crítica de la tira

Question

$\def\sfrac#1#2{% \pequeño#1% \kern-.05em\lower0.1ex/\kern-.025em% \lower0.4ex\pequeño#2}$, he estado trabajando en la obtención de una comprensión intuitiva de la continuación analítica de la función zeta, pero me he quedado atascado en esta parte donde tengo que multiplicar dos muy extraña serie juntos.

El enfoque es bastante simple: en primer lugar, comenzar con la Dirichlet eta función, definida por $η(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{-1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{-1}{4^s} + ... $. A continuación, la siguiente relación se tiene:

$ζ(s) = η(s) · \frac{1}{1-\frac{2}{2^s}}$

Si $\Re\{s\} > 1$, el factor puede ser expandida en una serie de Taylor, produciendo

$z(s) = \left(\frac{1}{1^s} + \frac{-1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{-1}{4^s} + ... \right) \cdot \left(\frac{1}{1^s} + \frac{2}{2^s} + \frac{4}{4^s} + \frac{8}{8^s} + ... \right) \\ = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + ...$

donde el producto puede ser evaluado como una de Dirichlet de convolución.

Esto es porque la imagen de $\frac{2}{2^s}$ se encuentra dentro del radio de convergencia de la $1 + x + x^2 + x^3 + ...$ expansión de la serie de $\frac{1}{1-x}$, por lo que la expansión de Taylor es válido.

Sin embargo, si $\Re\{s\} < 1$, entonces la imagen de a $\frac{2}{2^s}$ se encuentra fuera de la república de china, por lo que la expansión no funciona. En su lugar, podemos tomar ventaja de la ecuación funcional

$f(x) + f(\frac{1}{x}) = 1$

donde $f(x) = \frac{1}{1-x}$.

Sustituyendo en la $x=\frac{2}{2^s}$, y permitiendo que el $\frac{1}{\left(\frac{2}{2^s}\right)} = \frac{\sfrac{1}{2}}{{\sfrac{1}{2}}^s}$, se obtiene

$\frac{1}{1-\frac{2}{2^s}} = 1 - \frac{1}{1-\frac{\sfrac{1}{2}}{{\sfrac{1}{2}}^s}}$

donde $\frac{\sfrac{1}{2}}{{\sfrac{1}{2}}^s}$ ahora tiene una imagen situada en el ROC de la mencionada expansión de la serie de $\Re\{s\} < 1$. Así que podemos expandir todo el lado derecho como

$\frac{1}{1-\frac{2}{2^s}} = \frac{-\sfrac{1}{2}}{{\sfrac{1}{2}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{4}}{{\sfrac{1}{4}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{8}}{{\sfrac{1}{8}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{16}}{{\sfrac{1}{16}}^s} + ...$

Finalmente, poniendo todo cosas juntos, obtenemos

$ζ(s) = \left(\frac{1}{1^s} + \frac{-1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{-1}{4^s} + ... \right) \cdot \left(\frac{-\sfrac{1}{2}}{{\sfrac{1}{2}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{4}}{{\sfrac{1}{4}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{8}}{{\sfrac{1}{8}}^s} + \frac{-\sfrac{1}{16}}{{\sfrac{1}{16}}^s} + ...\right)$

Que, por $0 < \Re\{s\} < 1$, es el producto de un condicionalmente convergente de Dirichlet de la serie, y absolutamente convergente "fraccional de Dirichlet de la serie."

Y aquí estoy perplejo. Cómo puedo ampliar este producto? Entiendo que el resultado debe de ser algún tipo de "fracciones de Dirichlet de la serie", donde los denominadores son diádica racionales elevado a la potencia de s, y entiendo que básicamente quiere realizar algún tipo de Dirichlet convolución tipo de cosa aquí.

Pero, ¿cómo puedo hacerlo? ¿Qué significa la expresión resultante?

Answer 1

la serie de $\eta(s)$ es absolutamente convergente para $\Re(s) > 0$ si se agrupan los términos por los dos :

$\eta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s} = \sum_{n=1}^\infty \mathcal{O}(s (2n)^{-s-1})$ ( a partir de la expansión de Taylor de orden 1 de $(1-x)^{-s}$ al $x \to 0$)

$\eta(s) = (1-2^{1-s}) \ \zeta(s)$ $\displaystyle \Re(s) < 1 : \ \ \frac{1}{1-2^{1-s}} = -\frac{2^{s-1}}{1-2^{s-1}} = - \sum_{k=1}^\infty 2^{k(s-1)}$.

usted obtener :

$$\zeta(s) = - \sum_{k=1}^\infty 2^{k(s-1)} \eta(s) = - \sum_{n,k} \left( (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s} \right) 2^{k(s-1)}$$ lo cual es absolutamente convergente doble de la suma de $\Re(s) \in ]0;1[$.