Dado que el $n$ discos/círculos de compartir un espacio común, lo que significa que cada dos de ellos se cruzan o superponen el uno al otro, y sabemos de sus coordenadas $（x_{1},y_{1},r_{1})$, $(x_{2},y_{2},r_{2})$, ..., $(x_{n},y_{n},r_{n})$, donde $x_{i}$,$y_{i}$,$r_{i}$ representan el $x$ eje de coordenadas, el $y$ eje de coordenadas, y el radio de la $i$-th disco/círculo, respectivamente, se puede proporcionar un método para calcular las coordenadas del centro de gravedad de la intersección de estos discos/círculos?
Respuesta
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La intersección de a $n$ discos es una convexidad delimitado por arcos circulares que se encuentran en los vértices donde dos o más círculos se intersectan.
La primera cosa a hacer es identificar estos vértices y los arcos que los conectan entre sí. Si no hay tres círculos son coincidentes,$^1$, entonces esto no es muy difícil: Considerar cada par de círculos; a encontrar su dos puntos de intersección, que forman dos candidatos vértices; si un candidato vértice está en el interior de todos los demás círculos, entonces se trata de un vértice de la intersección. Esto proporciona un conjunto de vértices.$^2$ Cada vértice se encuentra en exactamente dos círculos; el uso de esta conectividad, se puede ordenar en orden coherente en torno a la intersección de la forma.
Ahora usted puede descomponer la intersección que se forma en un número de piezas: (i) el polígono (sombreado en azul) que conecta los vértices, y (ii) una colección de segmentos circulares (color rojo), uno para cada arco de la forma. Usted puede encontrar las áreas y centroides de cada pieza utilizando las fórmulas de forma cerrada (polígono, segmento circular). El centroide de la forma es entonces simplemente el promedio ponderado de los centroides de cada una de las piezas, ponderado por área.
$^1$Si varios círculos son coincidentes en un vértice, a continuación, haciendo pares pruebas no siempre se obtiene un conjunto coherente de vértices, especialmente si usted está utilizando la aritmética de punto flotante. Usted podría ser capaz de conseguir alrededor de esto, en cierta medida por la fudging el interior del círculo de la prueba con algunos epsilon sesgo, pero realmente robusta solución tendría que venir de una geometría computacional de expertos.
$^2$Es posible que el conjunto de vértices resulta ser vacío. Entonces hay dos posibilidades: o la intersección es igual a uno de los círculos, o la intersección es vacía. Es fácil distinguir entre estos dos casos, mediante la comprobación de si existe un círculo que está completamente dentro de todos los demás.
