Cuaternión ^ cuaternión

Question

Yo estaba mirando Cuaterniones en Wikipedia - yo estaba tratando de encontrar el valor de $i^j$ etc...

Listas de Wikipedia $q^\alpha$ donde $\alpha$ es real, pero no puedo encontrar el valor de $i^j$. Alguna pista?

La respuesta que dan aquí , no te da una solución explícita.

Answer 1

Wecan definir la exponencial de una cuádrupla $e^q$ , $q \in \mathbb{H}$, ver: Función Exponencial de la Cuádrupla - Derivación. Lo que podemos usar esta definición para definir $p^q$ , $q,p \in \mathbb{H}$ como $p^q=e^{(\log p)q}$, con un poco de atención a la definición de $\log p$ que es una función de varios valores. Ver el logaritmo de cuaterniones.

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Agrega después de los comentarios.

Para una cuádrupla $q$ theexponential $e^q$ está bien definida de cuaterniones, por lo que también se $(e^q)^p$ está bien definido, pero, en general $(e^q)^p \ne (e^p)^q$ . este no es un resultado extraño desde $\mathbb{H}$ es no conmutativa anillo y también otros properies de la función exponencial para un campo no son válidos en un anillo.

Sabemos que todos los cuaterniones $z=a+ib+jc+kd=a+\mathbf{v}$ se puede escribir en forma polar como:$ z=|z| e^ {\mathbf{x} \theta} = |z|\left(\cos \theta +\mathbf{n}\sin \theta \right)= e^{\log |z| + \mathbf{x} \theta}$, donde : $$ \begin{split} & |z|= \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\\ & \cos \theta=\dfrac{a}{|z|} \qquad \sin \theta=\dfrac{|\mathbf{v}|}{|z|}\\ & \mathbf{x}=\dfrac{\mathbf{v}}{|z|\sin \theta} \end{split} $$

por lo que podemos definir un "principal" logaritmo como:

$$ \log z= \log |z| + \theta \mathbf{x} $$ y tenemos $z=e^{\log z}$

Ahora me parece que bien podemos definir: $q^p = \left(e^{\log q}\right)^p=e^{p\log |z|}e^{\theta\, \mathbf{x}\,p}$

El "problema" es que el $e^{\theta\, \mathbf{x}\,p} \ne e^{\theta\,p \mathbf{x}}$. Pero es esto realmente un problema, o simplemente una propiedad de quaternon exponencial?

Answer 2

Expresan $i$ $e^{i\frac\pi 2+2ni\pi}$ y la definición de $(e^a)^b=e^{ab}$, entonces podemos escribir

$$i^j=e^{i\frac\pi 2+2ni\pi)j}=e^{ij\frac\pi 2+2nij\pi}\\ =e^{k\frac\pi 2+2nk\pi}=k$$

Esta segunda traducción se desprende directamente de la vinculada definición de exponenciación como una suma.

Después de más comentado de la discusión, entonces, podemos hacer algunas manipulaciones:

$$i^j=k\implica i^j-ij=0\\ i(i^{j-1}-j)=0\implica i^{j-1}=j\\ i^{2j-1}=i^{j-1}i^j=jk=i$$

Esto claramente se cae, como $i^{2j-1}=i^ji^{j-1}=kj=-i$. Por lo tanto, la simple derivación utilizado anteriormente junto con la hipótesis de que podemos definir de la $(e^a)^b=e^{ab}$ falla para producir un modelo coherente, y no puede ser invocado.