Teniendo en cuenta la derivada de una función racional

Question

Dado que $$ f (x) = \frac{x}{1+x^2} $$

Tengo que encontrar %#% $ #%

Tan algunos progreso muestra que:

$ \frac{\left(\frac{x}{1+x^2}\right) - \left(\frac{a}{1+a^2}\right)} {x a} = \frac{(x)(1+a^2)-(a)(1+x^2)}{(1+x^2)(1+a^2)}\cdot\frac{1}{x-a} = \frac{x+xa^2-a-ax^2}{(1+x^2)(1+a^2)(x-a)} $$

¿Ahora, es posible factor $$\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$? Parece que no puedo encontrar una manera, en cuanto a simplificar la cosa entera. ¿Existe ninguna norma que pueda utilizar, y soy incapaz de ver?

Answer 1

$$\eqalign{x+xa^2-a-ax^2&= x-a+xa^2-ax^2 \\ & = x-a+x(a^2-ax) \\ &= x-a+x(a(a-x)) \\ &= x-a+x(-a(x-a)) \\ &=\color{blue}{x}-ax\color{blue}{(x-a)} \\ &=(x-a)(1-ax).\;\marca de verificación }$$ Por lo tanto, se puede concluir que: $$\eqalign{\requieren{cancel}\dfrac{f(x)-f(a)}{x}&=\dfrac{x+xa^2-a-ax^2}{(1+x^2)(1+a^2)(x-a)} \ \ &=\dfrac{\color{red}{\cancel{\color{black}{(x-a)}}}(1-ax)}{(1+x^2)(1+a^2)\color{red}{\cancel{\color{black}{(x-a)}}}} \\ &= \dfrac{1-ax}{(1+x^2)(1+a^2)}. }\etiqueta{$x\neq a$}$$

Answer 2

Desde $x-a$ está en el denominador, tiene sentido considerar la posibilidad de que $x-a$ es un factor del numerador. (Si conoces el teorema del factor, pueden ver que este es el caso, ya que el numerador es igual a cero cuando veo a $x = a.)$ $x-a$ en el numerador, junto con dos otros términos. Muy poca inteligencia es necesario en este momento para escribir

$$x-a + xa^2 - ax^2 \; = \; x - a + ax(a-x)$$ $$ = \; (x-a) - ax(x-a) \; = \; (x-a)(1-ax)$$

Answer 3

Por la regla del cociente de la diferencia de $\ f'(x)\, :=\, \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$$ \quad\begin{eqnarray} (g/h)'(x) &=\,\ & \dfrac{\color{#c00}{g'(x)} h(a) - g(a)\color{#0a0}{h'(x)}}{h(a)h(x)}\\ \begin{array}{l}\ g(x)=x\qquad\Rightarrow\,\color{#c00}{g'(x) = 1}\\ h(x) = 1+x^2\,\Rightarrow\,\color{#0a0}{h'(x) = x+a}\\\end{matriz} \ \Bigg\}\!\!\!\!\! & = & \dfrac{\color{#c00}1\cdot (1+a^2)\overset{\phantom{I^I}}-a(\color{#0a0}{x+a})}{(1+a^2)(1+x^2)} \ = \ \dfrac{1-ax}{(1+a^2)(1+x^2)} \end {eqnarray} $$

Answer 4

Sugerencia: se puede adivinar que algo interesante va a pasar cerca de $x = a$, lo que sugiere ver factor $x-a$.

De hecho, $x + xa^2 - a - ax^2 = (x-a) + xa(x-a)$.

Answer 5

Factor: $$x+xa^2−a−ax^2=x-a-ax^2+xa^2=(x-a)-ax(x-a)=(1-ax)(x-a)$ $, $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{(1-ax)(x-a)}{(1+x^2)(1+a^2)}}{(x-a)}=\boxed{\frac{1-ax}{(1+x^2)(1+a^2)}}$ $