mostrar que los funtores exactos preservan las secuencias exactas (categorías abelianas, funtores aditivos y núcleos)

Question

Estoy trabajando con el texto de geometría algebraica de Vakil y me he atascado en el ejercicio 1.6.E (página 52 de http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf .)

Supongamos que $F$ es un functor exacto. Demuestre que aplicando $F$ a una secuencia exacta preserva la exactitud. Por ejemplo, si $F$ es covariante y $A' \to A \to A''$ es exacta, entonces $FA' \to FA \to FA''$ es exacta.

Esto es lo que he estado pensando:

Dejemos que los mapas se denoten como $f, g$ (por lo que tenemos $A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A''$ ).

Sabemos que $F$ es exacta a la izquierda y exacta a la derecha. Para utilizar la exactitud a la izquierda de $F$ observamos que $0 \to \ker f \to A \xrightarrow{g} A''$ es exacta, por lo que $0 \to F(\ker f) \to FA \xrightarrow{Fg} FA''$ es exacta.

Sin embargo, no sé muy bien qué hacer con el $F(\ker f)$ objeto. (Sería bueno que $F(\ker f) = \ker Ff$ pero no veo ninguna razón para que esto sea realmente cierto).

Answer 1

Tenemos un diagrama

con diagonales exactas. Aplicando $F$ da un diagrama

también con diagonales exactas.

Ahora bien, tenga en cuenta que \begin {align*} \DeclareMathOperator {Im}{Im} \Im F(f) &= \Im\big (F(A^ \prime ) \to F( \Im f) \to F(A) \big ) \\ & \overset { \ast }{=} \Im\big (F( \Im f) \to F(A) \big ) \\ &= \DeclareMathOperator {Ker}{Ker} \Ker\big (F(A) \to F( \Im g) \big ) \\ & \overset { \circledast }{=} \Ker\big (F(A) \to F( \Im g) \to F(A^{ \prime\prime }) \big ) \\ &= \Ker F(g) \end {align*} donde $\ast$ se mantiene ya que $F(A^\prime)\to F(\Im f)$ es epi y $\circledast$ se mantiene ya que $F(\Im g) \to F(A^{\prime\prime})$ es mono. Por lo tanto, $$ F(A^\prime)\to F(A)\to F(A^{\prime\prime}) $$ es exacta.

Por supuesto, el argumento anterior se extiende para demostrar que un functor exacto mapea complejos acíclicos a complejos acíclicos.