Historia del producto punto y del coseno

Question

El hecho de que el producto punto y el coseno del ángulo entre dos vectores sean mutuamente computables es fácil de demostrar (ver los dos lados en las dos respuestas en Producto de puntos en coordenadas ).

Pero viendo el producto punto, nunca habría pensado que de alguna manera capta algo del ángulo (y viceversa).

¿Cómo se descubrió la conexión? ¿Quiénes fueron los principales protagonistas? ¿Simplemente se desprendió del desarrollo de las operaciones matriciales para el álgebra lineal (o el producto punto fue lo primero) o sólo se relacionan a posteriori o qué?

Answer 1

Sospecho que J.M. tiene razón: históricamente, los cuaterniones fueron anteriores a los vectores. Pero antes de los cuaterniones tenías los números complejos.

Para dos números complejos $z$ y $w$ El hecho de que $\text{Re}(\overline{z} w) = |z| |w| \cos \theta$ , donde $\theta$ es el ángulo entre ellos medido en el origen, se desprende de la representación polar. Escribe esto en términos de las partes real e imaginaria de $z$ y $w$ y tienes la versión bidimensional de tu relación.

Hamilton, por supuesto, sabía todo esto, y una de las principales motivaciones detrás de su desarrollo del álgebra de los cuaterniones era conseguir una forma de estudiar el espacio tridimensional análoga al uso de los números complejos para estudiar el espacio bidimensional. Si $P = a i + b j + c k$ y $Q = d i + e j + f k$ son cuaterniones que representan lo que llamaríamos "vectores", la parte real del cuaternión $\overline{P} Q = (-ai-bj-ck)(di+ej+fk)$ es $ad + be + cf$ y esto debería ser (y es) $|P| |Q| \cos \theta$ .

Gibbs et al. prescindieron del marco del cuaternión y lo escribieron como el "producto punto" de los dos vectores $(a,b,c)$ y $(d,e,f)$ .

Answer 2

Mirando palabra matemática en D encontrarás:

DOT PRODUCT se encuentra en 1901 en Vector Analysis por J. Willard Gibbs y Edwin Bidwell Wilson:

El producto directo se denota escribiendo los dos vectores con un punto entre ellos como

A-B

Esto se lee A punto B y, por lo tanto, a menudo se puede llamar el producto punto en lugar del producto directo.

Esta cita fue proporcionada por Joanne M. Despres de Merriam-Webster Inc.

Si se hace con una copia Estoy seguro de que tendrán un buen debate sobre el tema . Gibbs era el gran defensor de los vectores y estoy dispuesto a apostar que habría discutido la conexión entre ambos. Ese sería probablemente un buen punto de partida para encontrar una respuesta a tu pregunta.

Answer 3

He publicado mi respuesta de forma cruzada aquí .

Fue Sir William R. Hamilton quien abordó originalmente el concepto. Casi al final de su carta a John T. Graves sobre su reciente descubrimiento de los cuaterniones en el mismo año (1843), escribe lo siguiente:

La multiplicación será fácil si conocemos las reglas del producto de dos imaginarios puros. Este producto es, por (B.),

$$(0, b, c, d)(0, b, c, d) = (bb cc dd, cd dc, db bd, bc cb);$$

la línea del producto es perpendicular al plano de los factores; su longitud es el producto de sus longitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos: y la parte real del producto, con su signo cambiado, es el mismo producto de las longitudes de los factores multiplicado por el coseno de su inclinación.

En esencia, reconoció que (utilizando la notación moderna para los cuaterniones):

$$(0, \vec{v})(0, \vec{w}) = (-\Vert \vec{v} \Vert \Vert \vec{w} \Vert \cos(\theta), \Vert \vec{v} \Vert \Vert \vec{w} \Vert \sin(\theta) \vec{k})$$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{w}$ y $\vec{k}$ es perpendicular a $\vec{v}$ y $\vec{w}$ .

Este descubrimiento es anterior a Gibbs y Heaviside, que nacieron en 1839 y 1850 respectivamente.