Estoy tratando de demostrar una proposición simple que es en Burago del "Curso de formación en Espacios Métricos" (Ejercicio $8.4.5$, p.$287$). Antes de exponer mi problema, te voy a dar algunas definiciones.
Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que geodésica es cualquiera de los dos puntos $a,b\in X$ puede ser acompañado por una de lipschitz de la curva de $\gamma$ tal que $d(a,b)=\ell(\gamma)$ donde $\ell$ denota la longitud de $\gamma$. Denotamos $[a,b]$ la imagen de dicha curva (llamada geodésica) unirse a $a,b$. También, dado $a,b,p\in X$ tenemos en cuenta el número de
$$(a,b)_c=\frac{1}{2}(d(a,c)+d(c,b)-d(a,b)).$$
Estoy tratando de probar lo siguiente (lo cual es cierto, creo...)
Supongamos que $(X,d)$ es una geodésica de espacio métrico. Deje $a,b,c\in X$ y considerar la geodésica triángulo cuyos vértices son a $a,b,c$. Supongamos que para todos los $p\in[b,c]$ hemos
$$(a,b)_p\leqslant\delta.$$
A continuación,
$$d(p,[a,b])\leqslant\delta.$$
(esto no es exactamente en el ejercicio, pero, creo que esto es cierto. Si lo fuera, creo que puedo demostrar que cualquier geodésica espacio métrico satisfacer algunas probable que la condición es $\delta$hiperbólico)
Esto intuitivamente dice, creo, que si el triángulo $a,b,p$ es "delgada", entonces el punto de $p$ está dentro de la $\delta$ barrio de $[a,b]$. He intentado un montón de cálculo estimativo usando la desigualdad triangular, de tantas maneras, que si esto es cierto, esto puede ser ese tipo de cosas donde no vemos lo obvio... yo no podía entender el argumento. Los signos de las cosas en mi cálculo estimativo parecen ser del todo mal.
Si alguien pudiera ayudar, estaría muy agradecido. Gracias de nuevo!
