Ejercicio sobre Galvin-Hajnal rango

Question

Estoy atascado en el ejercicio 9a del capítulo 2.2 de Introducción al cardenal aritmética Holz, Steffens y Weitz. Es como sigue:

Suponga que $\kappa > \omega$ es regular el cardenal, $I$ es no estacionaria ideal de $\kappa$, $\Phi: \kappa \to \kappa$ es una función, $+$ es el número ordinal de la suma y la $||\Phi||_I$ es la Galvin-Hajnal rango de $\Phi$ con respecto a la ideal $I$. Demostrar: Si el conjunto de $\{\xi < \kappa : \Phi(\xi) \leq \xi + \xi\}$ es estacionaria en $\kappa$,$||\Phi||_I \leq \kappa + \kappa$. (Sugerencia: Use inducción transfinita, Fodor y teorema de Lema 1.8.4 (este Lema ofertas con ciertas características de estacionario y no estacionario de conjuntos))

Para intentar resolver el problema: Suponga $\Psi: \kappa \to \kappa$ es una función con $\Psi <_I \Phi$ (lo que significa que $\{ \xi < \kappa : \Psi(\xi) \geq \Phi(\xi) \} \in I$ ) y el objetivo de demostrar que $||\Psi||_I+1 \leq \kappa + \kappa$ que es el mismo que $||\Psi||_I \leq \kappa + \alpha$ algunos $\alpha < \kappa$. Debido a $\Psi <_I \Phi$ $\{\xi < \kappa : \Phi(\xi) \leq \xi + \xi\}$ es estacionaria, el conjunto $\{\xi < \kappa : \Psi(\xi) < \xi + \xi\}$ es estacionaria. Ahora me gustaría encontrar a $\alpha < \kappa$ de manera tal que el conjunto $\{\xi < \kappa : \Psi(\xi) \leq \xi + \alpha\}$ es estacionaria. Esto implicaría que el $||\Psi||_I \leq \kappa + \alpha$, pero no necesariamente de existir $\alpha$? O es todo esto un mal planteamiento del problema?

Esto me ha hecho reflexionar sobre otra cuestión relacionada. De nuevo, deje $\kappa > \omega$ regular cardenal. Decimos que una función $f: \kappa \to \kappa$ tiempo domina otra función $g: \kappa \to \kappa$, si no es $\alpha < \kappa$ tal que $f(\xi) > g(\xi)$ todos los $\xi$$\alpha$$\kappa$. Deje $f_\alpha, g: \kappa \to \kappa$ ser las funciones de $f_\alpha(\xi) = \xi + \alpha$$g(\xi)=\xi + \xi$. Hay una función de $\kappa \to \kappa$ que finalmente domina todas las funciones de $f_\alpha,\alpha < \kappa$ y finalmente es dominada por la función de $g$? En vista de que el ejercicio, la respuesta debe ser negativa, pero hay una manera fácil de ver esto?

Answer 1

Supongamos que para cada una de las $\alpha \in \kappa$ no es un cachorro $C_\alpha$ que $\Psi(\xi) > \xi + \alpha$. Deje $D$ ser la diagonal de la intersección de estos cachorros, es decir, $D = \{\xi \in \kappa:\xi \in \bigcap \limits_{\alpha < \xi} C_\alpha\}$. Entonces para cualquier $\xi \in D$ tenemos $\Psi(\xi) \ge \sup \limits_{\alpha < \xi}(\xi+\alpha) = \xi+\xi$, contradiciendo la estacionariedad de $\{\xi \in \kappa:\Psi(\xi) < \xi+\xi\}$.

Yo no veo ninguna sustancialmente más simple argumento para la pregunta relacionada, aunque el resultado puede ser probado directamente en una manera similar. Supongamos que $f$ es una función de este tipo. Fix $\alpha \in \kappa$ tal que $f(\xi) < \xi+\xi$$\kappa \setminus \alpha$. Para cada una de las $\beta \in \kappa$ hay un $\alpha_\beta \in \kappa$ tal que $f(\xi) > \xi+\beta$$\kappa \setminus \alpha_\beta$. Ahora vamos a $D$ ser la diagonal de la intersección de las colas $\kappa \setminus \alpha_\beta$; para cualquier $\xi \in D$, $\xi+\xi > f(\xi) \ge \sup\limits_{\beta < \xi}(\xi+\beta) = \xi+\xi$, lo cual es absurdo. (De hecho, me hizo primero; me dio la idea para el argumento general.)