Demostrar que dos matrices son iguales

Question

Un amigo y yo estamos teniendo problemas con un problema de álgebra lineal:

Dejemos que $A$ y $B$ sean matrices cuadradas de dimensiones $n\times n$

Demostrar o refutar:

Si $A^2=B^2$ entonces $A=B$ o $A=-B$

Parece ser cierto, pero el resto de mi clase insiste en que es falso - no puedo encontrar un ejemplo en el que no sea así - ¿puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Gracias.

Answer 1

$\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0&2\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Answer 2

Tu clase es correcta, y considera la sugerencia del comentario: Que $$A=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right), \ \mathrm{and} \ B=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right).$$

Answer 3

Todas las matrices $E_{ij}$ de la base estándar de $M_n(\mathbf R)$ definido con $$ a_{kl}=\begin{cases} 1&\text{if }(k,l)=(i,j)\\ 0&\text{if }(k,l)\neq(i,j) \end{cases}$$ satisfacen la ecuación $\;E_{ij}^2=0$ si $i\neq j$ .