$\int f_k\to 0 $ pero $f_k $ no converge a $0 $ ae, donde $ f_k $ se define en $[0, 1] $

Question

Dé un ejemplo, en [0, 1], de una secuencia de funciones $ f_k $ tal que $||f_k||_ 1=\int |f|_k \to 0 $ pero $ f_k $ no converge a $0 $ a.e.

Answer 1

Dado un conjunto $A$ recuerda que $\mathcal{X}_A$ es la función característica de $A$ .

Dejemos que $f_1=\mathcal{X}_{[0, 1]}$

$f_2=\mathcal{X}_{\left[0, \frac{1}{2}\right]}$

$f_3=\mathcal{X}_{\left[\frac{1}{2}, 1\right]} $

$f_4=\mathcal{X}_{\left[0, \frac{1}{3}\right]} $

$f_5=\mathcal{X}_{\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]} $

$f_6=\mathcal{X}_{\left[\frac{2}{3}, 1\right]} $

$f_7=\mathcal{X}_{\left[0, \frac{1}{4}\right]} $

y así sucesivamente...

Answer 2

Imagen : Elija $f_k$ para ser una caja con longitud "sobre" $1/k$ y mover la caja alrededor del intervalo.

Más riguroso: Fijar una enumeración de los racionales en $[0, 1]$ por $\{0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ...\}$ y que

$$f_k = \chi_{(r_k - 1/k, r_k + 1/k) \cap [0, 1]}$$

donde $r_k$ es la kª entrada de la secuencia. Entonces $f_k$ no converge en ninguna parte, pero

$$\int |f_k| \leq \frac{2}{k}$$

Answer 3

Trate de considerar las funciones

$$f_{n,k}=\begin{cases}n,&x\in \left[\frac{k}{n^2},\frac{k+1}{n^2}\right],\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$ con $n\in \Bbb N$ , $k=0,\dots,n^2-1$ .

Answer 4

Definir $I_{n,k}:=[k2^{-n},(k+1)2^{-n})$ para $n\in\mathbb N$ y $0\leqslant k\leqslant 2^n-1$ . Entonces defina $$f_1=a_1\chi_{I_{1,0}}, f_2:=a_1\chi_{I_{1,1}}$$ $$f_3=a_2\chi_{I_{2,0}}, f_4=a_2\chi_{I_{2,1}}, f_5=a_2\chi_{I_{2,2}}, f_6=a_2\chi_{I_{2,3}}$$ $$\vdots$$ $$f_{2^{n+1}+1+k}:=a_n\chi_{I_{n,k}},\quad 0\leqslant k\leqslant 2^n-1.$$ Tomando $a_n$ tal que $a_n2^{-n}\to 0$ tenemos $\lVert f_n\rVert_{L^1}\to 0$ pero no hay convergencia en casi todas partes a $0$ (porque para cada $x$ , hay $A(x)\subset \mathbb N$ infinito tal que $f_j(x)>1$ para todos $j\in A(x)$ .

Sin embargo, es cierto que si $f_n\to 0$ en $L^1$ , entonces hay $n_k\uparrow \infty$ tal que $f_{n_k}\to 0$ casi en todas partes: consideramos $n_k$ tal que $\mu\{|f_{n_k}|>2^{-k}\}\lt 2^{-k}$ . Es válida para cualquier espacio de medida, no sólo en el intervalo unitario dotado de medida de Lebesgue.