Demostrar tres lados hacen un triangulo de asunciones básicas

Question

He estado trabajando a través de Los Cuatro Pilares de la Geometría por John Stillwell. En el ejercicio 2.5.3 le pide,

Cómo podemos estar seguros de que las longitudes $a,b,c>0$ $a^2+b^2=c^2$ realidad se unen para hacer un triángulo? (Sugerencia: Muestre que $a+b>c$)

Lema: $a+b>c$. Supongamos que no se que $a+b\leq c$ $a^2+b^2+2ab\leq c^2$ y $2ab\leq 0$ $\Rightarrow\Leftarrow$ una contradicción que se alcanza desde $a,b>0$.

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Así que mis dos preguntas son, (1) es mi prueba de la pista correcta, y (2) ¿cómo es que la sugerencia de llevar a la afirmación de que $a,b$$c$, de hecho, forman un triángulo.

Answer 1

La prueba de su lema parece correcta. Para responder (2), usted tiene $a+b>c$. También, tiene de $a^2+b^2=c^2$ $a^2\lt c^2$ y $b^2\lt c^2$, que $a\lt c$ y $b\lt c$ como todas las longitudes son positivas. Así $a+c\gt b$ y $b+c\gt a$. Puesto que cualquier dos longitudes son mayores que el tercero, sabes que en un plano euclidiano, por el método de Euclides I.22 que puede construir un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$.