Número máximo de triples pitagóricos en un círculo no centrado en el origen

Question

Supongamos dos ecuaciones $$x^2+y^2=r^2$$ et $$(x-a)^2+(y-b)^2=2g^2$$

Donde x,y y r son variables enteras mayores que 0. a,b y g son constantes enteras mayores que 0.

Conjeturo que para cualquier selección de a,b y g, el número de soluciones enteras de la forma $(x,y,r)$ es menor o igual que 3. ¿Cómo podría demostrar o refutar esto? Algún consejo para abordar este problema. Gracias.

Answer 1

Cómo conseguir círculos con más de $3$ tales puntos...

Premier , considere un círculo "generador" de la forma $$ x_0^2+y_0^2=2g^2, $$ que tiene muchos puntos enteros. Uno de estos círculos más bien pequeños y que "llegan a puntos enteros" es el círculo con $g=1105=5\times 13\times 17$ . Tiene $108$ puntos enteros (por ejemplo).

Segundo , desplaza este círculo en un vector entero (aleatorio) $(a,b)$ y comprobar cuántos de sus puntos enteros coinciden con la condición $$x^2+y^2=r^2,$$ donde $r$ es un número entero.

Entonces para el círculo considerado y para $(a,b)=(10, 1855)$ (por ejemplo) se obtendrá el sistema $$ \left\{ \begin{array}{c} (x-10)^2+(y-1855)^2=2\cdot 1105^2,\\ x^2+y^2=r^2, \end{array} \right. $$ que tiene $4$ tal $(x,y,r)$ -soluciones:
$(x,y,r)=(231,308,385)$ ,
$(x,y,r)=(377,336,505)$ ,
$(x,y,r)=(1557,2076,2595)$ ,
$(x,y,r)=(605,3300,3355)$ .

Y creo que hay ejemplos con más de $4$ puntos.

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Ooops... Considera lo mismo $g=1105$ y $(a,b)=(73,1561)$ .
Esta construcción nos da $7$ soluciones:
$(x,y,r)=(440,42,442)$ ,
$(x,y,r)=(882,224,910)$ ,
$(x,y,r)=(1410,752,1598)$ ,
$(x,y,r)=(1592,1194,1990)$ ,
$(x,y,r)=(1634,1488,2210)$ ,
$(x,y,r)=(1224,2618,2890)$ ,
$(x,y,r)=(1130,2712,2938)$ .

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Actualización:

para $g=32045=5\times 13\times 17\times 29$ (rodear con $324$ puntos enteros)
se puede encontrar $(a,b)=(823,45311)$ que nos dan $15$ soluciones:
$(x,y,r)=(12720, 1582, 12818)$ ,
$(x,y,r)=(25382, 7224, 26390)$ ,
$(x,y,r)=(32144, 12558, 34510)$ ,
$(x,y,r)=(33576, 13990, 36374)$ ,
$(x,y,r)=(38910, 20752, 44098)$ ,
$(x,y,r)=(44552, 33414, 55690)$ ,
$(x,y,r)=(46134, 44488, 64090)$ ,
$(x,y,r)=(46040, 48342, 66758)$ ,
$(x,y,r)=(45080, 55062, 71162)$ ,
$(x,y,r)=(40062, 67984, 78910)$ ,
$(x,y,r)=(35064, 74998, 82790)$ ,
$(x,y,r)=(30510, 79552, 85202)$ ,
$(x,y,r)=(23496, 84550, 87754)$ ,
$(x,y,r)=(10574, 89568, 90190)$ ,
$(x,y,r)=( 3854, 90528, 90610)$ .