Existencia y unicidad de un % constante $c$tal es finito que $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac {x + c}{\sin x}$

Question

Suponiendo que $c = - \pi$. Luego, el cociente asumirá el % de forma $0/0$. Usando l ' hospital

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi} \dfrac {x-\pi}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow \pi} \dfrac {1}{\cos x} = -1$$

Así, $c= - \pi$ $ \dfrac {x + c}{\sin x}$ tiende a un límite finito cuando x $ \rightarrow \pi$.

¿Qué argumento se podría utilizar para demostrar eso que es el único valor de c tal que el límite es finito?

Answer 1

Desde $x \to \pi$, escriba $x=\pi-\epsilon$ $\epsilon \to 0$ y con la expansión de Taylor $\epsilon$ cerca de $0$, tienes $$ \sin x = \sin (\pi-\epsilon)= \epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^3) $$ obtener $$\begin{align} \frac {x + c}{\sin x}&=\frac {\pi-\epsilon+c}{\sin (\pi - \epsilon)}\\\\ &=\frac {\pi+c-\epsilon}{\epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^3)}\\\\ &=\frac {\pi+c}{\epsilon}-1+\mathcal{O}(\epsilon)\\\\ \end {Alinee el} $$ and the latter expression, as $\epsilon \to 0$, is finite if and only if $\pi+c=0$, como se anunció.