Que $f \in k[x]$ ser un polinomio irreducible de grado primer $p$ tal que $K \cong k[x]/f(x)$ es una extensión separable. ¿Cómo ver si $f$ tiene más de una raíz en $K$, luego se divide el $f$ $K/k$ Galois?
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carmichael561
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Que $G=\mathrm{Aut}(K/k)$. Desde $f$ $K$ tiene más de una raíz, se deduce que $|G|>1$.
Supongamos que $|G|<p$ y elegir un $1\neq\sigma\in G$ $q$ de la orden. Sea $F$ el subcampo de $K$ fijada $\sigma$. Entonces por Teorema de Artin, sigue que $K/F$ es una extensión de Galois, con $[K:F]=|\sigma|=q$.
Por lo tanto %#% $ #% que es una contradicción porque $$p=[K:k]=[K:F][F:k]=q[F:k] $ y $q<p$ son primo.
Por lo tanto, $p$, que $|G|=p$ es una extensión de Galois de $K$ y $k$ se divide en $f$.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Deje $L\supseteq K$ ser una división de campo de la $f$$k$, y deje $G=\operatorname{Gal}(L/k)$ ser el grupo de Galois. Como $f$ es separable, ha $p$ distintas raíces en $L$. Vemos a $G$ como un grupo de permutaciones de las raíces, así también como un subgrupo del grupo simétrico $S_p$. Denotar por $H=\operatorname{Gal}(L/K)\le G$ el subgrupo asociado a la intermedia campo $K$.
El orden de $G$ es divisible por $[K:k]=p$ por Cauchy teorema existe un elemento $\sigma\in G$ orden $p$. Cuando se ve como un elemento de $S_p$ $\sigma$ tiene que ser un $p$-ciclo.
Deje $\alpha_1,\alpha_2$ dos raíces de $f(x)$$K$. Mediante la sustitución de $\sigma$ de su poder podemos, sin pérdida de generalidad supongamos que $\sigma(\alpha_1)=\alpha_2$. El número de los ceros de tal manera que $\sigma(\alpha_i)=\alpha_{i+1}$, para todos los $i=1,2,\ldots,p-1$, $\sigma(\alpha_p)=\alpha_1$.
La pretensión es demostrar que todos los ceros $\alpha_i\in K$. Supongamos por el contrario que este no es el caso. A continuación, podemos encontrar tres ceros $\alpha_i,\alpha_{i+1},\alpha_{i+2}$ tal que $\alpha_i,\alpha_{i+1}\in K$ pero $\alpha_{i+2}\notin K$. Esto implica que existe un elemento $\tau\in H$ tal que $\tau(\alpha_{i+2})\neq\alpha_{i+2}$. Considerar la automorphism $\delta=\sigma^{-1}\tau\sigma$. Como $\tau$ fija todos los elementos de a $K$ $$ \delta(\alpha_i)=\sigma^{-1}(\tau\alpha_{i+1}))=\sigma^{-1}(\alpha_{i+1})=\alpha_i. $$ Por lo tanto, $\delta$ revisiones de los elementos de $k(\alpha_i)\subseteq K$. Como $[K:k]=p$ es una de las principales, podemos concluir que no hay intermedios campos entre el$k$$K$. Por lo tanto $k(\alpha_i)=K$, e $\delta\in H$. Pero, $$ \delta(\alpha_{i+1})=\sigma^{-1}(\tau\alpha_ {+2}))\neq\sigma^{-1}(\alpha_ {+2})=\alpha_{i+1}. $$ Por lo $\delta$ no soluciona el elemento $\alpha_{i+1}$ contradiciendo lo anterior, y demostrando la reclamación.
